Question

[Nguyễn Nhật Minh]

Cho  x; y; z > 0  sao cho  (z+x)(z+y) = 1  CMR : \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(z+x\right)^2}+\frac{1}{\left(z+y\right)^2}\ge4.\)

Answer 1

[Mr Lazy]

\(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}}\); \(x-y=\left(x+z\right)-\left(y+z\right)=a-b\)

\(ab=1\Rightarrow b=\frac{1}{a}\)

\(A=VT=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\frac{1}{a^2}+a^2\)

\(=\frac{a^2}{\left(a^2-1\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)

\(t=a^2>0\)

\(A=\frac{t}{\left(t-1\right)^2}+t+\frac{1}{t}\)

\(A-4=\frac{\left(t^2-3t+1\right)^2}{t\left(t-1\right)^2}\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge4\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t=a^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)\(\Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=x+z=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\b=y+z=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{cases}}\) và hoán vị còn lại 

Hệ trên có vô số nghiệm, chẳng hạn

\(\hept{\begin{cases}z=\frac{1}{10}\\x=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\\y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\end{cases}}\)

Answer 2

[Nguyễn Nhật Minh]

giúp với.