cho x, y là hai số dương , chứng minh rằng : (x+y)(\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) )\(\ge\) 4

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

Nguyễn Thảo Hân

15 tháng 5 2018

cho x, y là hai số dương , chứng minh rằng :

(x+y)(\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) )\(\ge\) 4

#Toán lớp 8

Phùng Khánh Linh

15 tháng 5 2018

Ôn tập cuối năm phần số học

Đúng(0)

Phùng Khánh Linh

15 tháng 5 2018

Ôn tập cuối năm phần số học

Đúng(0)

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

Vịtt Tên Hiền

4 tháng 4 2017

chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)với mọi số x,y nguyên dương

#Toán lớp 8

Lightning Farron

4 tháng 4 2017

C₁:Biến đổi tương đương

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\dfrac{x}{xy}+\dfrac{y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)

C₂:Dùng AM-GM

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\);\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{y}}=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\)

Nhân theo vế 2 BĐT

\(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge4\sqrt{xy\cdot\dfrac{1}{xy}}=4\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

C₃:Dùng Cauchy-Schwarz (dạng Engel)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)

-3 cách trên đều có dấu "=" khi \(x=y\)

Đúng(0)

Nguyễn Thu Hà

7 tháng 4 2017

Phân thức đại số.

Đúng(0)

Trần Tuấn Hoàng

28 tháng 2 2022

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z=6\). Chứng minh rằng \(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4}{9}\)

#Toán lớp 8

Người Vô Danh

28 tháng 2 2022

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)=36\)

áp dụng BĐT cosi :

\(z^2+\left(x+y\right)^2\ge2z\left(x+y\right)\)

<=> \(z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)\ge4z\left(x+y\right)=36< =>z\left(x+y\right)\ge9\)

ta lại có \(\dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) áp dụng BĐT buhihacopxki dạng phân thức => \(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{yz+xz}=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\left(đpcm\right)\)

dấu bằng xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}yz=xz< =>x=y\\x+y+z=6\\z^2=\left(x+y\right)^2\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x+y+z=6\\z=2x=2y\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{3}{2}\\z=3\end{matrix}\right.\)

Đúng(0)

Trần Tuấn Hoàng

28 tháng 2 2022

-Ủa vì sao\(\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\)? Đáng lẽ là \(\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\le\dfrac{4}{9}\) chứ?

Đúng(0)

TRẦN MINH NGỌC

26 tháng 2 2018

Cho các số thực dương xyz thỏa mãnx+y+z=3. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x^2+x}+\dfrac{1}{y^2+y}+\dfrac{1}{z^2+z}\ge\dfrac{3}{2}\)

#Toán lớp 8

Akai Haruma

Giáo viên

26 tháng 2 2018

Lời giải:

Ta có:

\(A=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{y(y+1)}+\frac{1}{z(z+1)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}\)

\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{1}\geq \frac{4}{x+1}\) và tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng lại:

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3\geq 4\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3\right)(2)\)

Từ (1); (2) suy ra \(A\geq \frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\right)\)

Mà theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3\)

Do đó: \(A\geq \frac{3}{4}(3-1)=\frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Đúng(0)

Vịtt Tên Hiền

2 tháng 4 2017

cho x,y,z là 3 số thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\) . chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}\ge\dfrac{1}{xyz}\)

#Toán lớp 8

Chloe Avanche

14 tháng 4 2022

Cho biết : \(x+y+z=1\)( x, y, z là số dương)

Chứng minh:

\(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\text{≤}\dfrac{3}{4}\)

#Toán lớp 8

Nguyễn Ngọc Huy Toàn

14 tháng 4 2022

Sửa đề: \(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\ge\dfrac{3}{4}\)

Đặt \(P=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)

\(P=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{y+1}{y+1}-\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{z+1}{z+1}-\dfrac{1}{z+1}\)

\(P=1-\dfrac{1}{x+1}+1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}\)

\(P=3-\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{9}{x+y+z+3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{9}{4}\) ( vì \(x+y+z=1\) )

\(\Rightarrow P\ge3-\dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{4}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+1=y+1=z+1\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(Max_P=\dfrac{3}{4}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Đúng(1)

Chloe Avanche

14 tháng 4 2022

thanks bạn

Đúng(0)

Hồ Lê Thiên Đức

17 tháng 2 2022

Mọi người giúp em bài này với ạ:

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + y ≥ 3

Chứng minh rằng : \(x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{9}{2}\)

#Toán lớp 8

Đào Tùng Dương

17 tháng 2 2022

undefined

Đúng(4)

Đỗ Tuệ Lâm

18 tháng 2 2022

vỗ tay vì chữ đợp quớ:>

Đúng(0)

:vvv

21 tháng 3 2021

Cho x, y, z>0. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{x}{x+2y+3z}+\dfrac{y}{y+2z+3x}+\dfrac{z}{z+2x+3y}\ge\dfrac{1}{2}\)

#Toán lớp 8

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

22 tháng 3 2021

\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+5xy+5yz+5zx}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)

Đúng(2)

Nguyễn Thị Hương

11 tháng 4 2021

Chứng minh các bất đẳng thức:

a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)

b) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với \(x>0,y>0\)

#Toán lớp 8

Mai Diễm My

15 tháng 4 2018

cho x,y thỏa mãn xy≥1 chứng minh rằng

\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)

#Toán lớp 8

kuroba kaito

15 tháng 4 2018

\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)

⇔ \(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)

⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)

⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{-y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

=> -x(x-y)(1+y²)+y(x-y)(1+x²) ≥ 0

⇔ (x-y)[-x(1+y²)+y(1+x²)]≥0

⇔ (x-y)(-x-xy²+y+x²y) ≥0

⇔ (x-y)[-(x-y)+(x²y-y²x)] ≥ 0

⇔ (x-y)[-(x-y)+xy(x-y) ]≥ 0

⇔ (x-y)(x-y)(xy-1)≥ 0

⇔ (x-y)² (xy-1) ≥0 (luôn đúng ∀ xy ≥ 1)

=> đpcm

Đúng(0)

nguyễn hoàng anh

22 tháng 3 2019

bạn pải giả sử trước chứ nếu ntn thì người chấm hỏi ai cho lôi phần chứng minh ra làm phần mục đề

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP