K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 12 2017

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{x+y}{4xy}\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy.\)\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)

21 tháng 3 2019

AM-GM:\(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{4\left(x+y\right)}=\frac{1}{x+y}\)hay\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(dpcm\right)\)

20 tháng 7 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

\(x+y\ge2\sqrt{xy},\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)

Do đó \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\sqrt{xy}.\sqrt{\frac{1}{xy}}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)

20 tháng 7 2019

Cảm ơn bạn nhiều

3 tháng 8 2016

Ta có:

\(\frac{1}{x+y}\) \(\le\)\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\))

=> \(\frac{1}{x+y}\)\(\le\)\(\frac{x+y}{4xy}\)

=> 4xy \(\le\)(x+y)2

=> 2xy \(\le\)x2+y2

x^2 +y ^2-2xy luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nhé! Vội quá, không giải nữa nha!

22 tháng 6 2020

Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được 

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)

Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)

\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)

Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)

Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)

\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)

Vậy ta có đpcm

23 tháng 6 2020

Ta có:

\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)

Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\) 

11 tháng 1 2015

Bai 1: Ap dung BDT Bunhiacopxki ta co:

         \(ax+by+cz+2\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+xz)} \)

         \(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)} + \sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}+\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}\)

         \(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}\)

         \(= (a+b+c)(x+y+z)\) 

   =>  \(Q.E.D\)

11 tháng 1 2015

Tiep bai 4:Ta co:

               BDT <=>  \((2+y^2z)(2+z^2x)(2+x^2y)≥(2+x)(2+y)(2+z)\)

    Sau khi khai trien con:   \(2(z^2x+y^2z+x^2y)+x^2z+z^2y+y^2x≥xy+yz+zx+2x+2y+2z \)

               Ap dung BDT Cosi ta co:

                                       \(z^2x+x ≥ 2zx \) <=> \(z^2x≥2zx-x\)

              Lam tuong tu ta co:  \(2(z^2x+y^2z+x^2y)≥4xy+4yz+4zx-2x-2y-2z \)(1)

                                        \(x^2z+{1\over z}≥2x \) <=> \(x^2z≥2x-xy \) (do xyz=1)

              Lam tuong tu ta co:  \(x^2z+z^2y+y^2x≥ 2y+2z+2x-xy-yz-zx\)(2)

Cong (1) voi (2) ta co:      VT\(≥ 3(xy+yz+zx)\)(*)

               Voi cach lam tuong tu ta cung duoc:  VT\(≥ 3(x+y+z) \)(**)

Tu (*) va (**) suy ra :   \(3 \)VT \(≥ 6(x+y+z)+3(xy+yz+zx) \)

                           <=>   VT \(≥ 2(x+y+z)+xy+yz+zx\)

                            =>   \(Q.E.D\)

12 tháng 6 2017

thế nào nhỉ ( : 
Từ giả thiết => 1/x +1/y +1/z <= 1 
A/d  BĐT 1/(x +y+z) <= 1/9 ( 1/x + 1/y +1/z )  và 1/(x+y) <= 1/4 ( 1/x +1/y )
=> 1/(4x + y+z) = 1/(x+x + y+x + z+x) <= 1/9 ( 1/2x + 1/(y+x) + 1/(z+x) ) <= 1/9 ( 1/(2x)  + 1/4(1/y +1/x) + 1/4(1/x + 1/z)) 
Tương tự cộng lại và sử dụng 1/x +1/y +1/z <= 1
được P <= 1/6(1/x +1/y +1/z) <= 1/6 ĐPCM.