MM
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TD
1
HN
10 tháng 6 2017
\(P=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+zx}\ge\dfrac{9}{3+xy+yz+zx}\)
\(\ge\dfrac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
TD
2
TD
1
9 tháng 6 2017
Đề bị sai kia bạn biểu thức thứ 3 đó
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\) (bạn xem trên mạng đi có đó từ bđt cô si mà ra ) ta có:
\(\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+zx}\ge\dfrac{9}{3+xy+yz+zx}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
(vì \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\le3\))
Vậy Min P = 3/2 khi x=y=z=1
10 tháng 5 2023
2/xy<=1/x^2+1/y^2=1/2
=>xy>=4
Dấu = xảy ra khi x=y=2
(x+y)^2>=4xy>=16
=>x+y>=4
Dấu = xảy ra khi x=y=2
=>x+y+xy+2023>=2023+4+4=2031
Dấu = xảy ra khi x=y=2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 4 2022
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$
Cộng 2 BĐT trên lại:
$P\geq 16+8=24$
Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 4 2022
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$
Cộng 2 BĐT trên lại:
$P\geq 16+8=24$
Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
DT
1
31 tháng 5 2017
Ta có :
\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)(1)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)( "=" khi a=b ) , ta có :
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{x^2+2xy+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{1^2}=4\) (2)
Lại có : \(\left(x-y\right)^2>=0\) ("=" khi x=y )
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2>=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2>=2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy>=4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)
\(\Leftrightarrow1>=4xy\)
\(\Leftrightarrow2xy< =\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2xy}>=2\) (3)
Từ (1) , (2) và (3) , suy ra : \(K>=4+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\x=y\\x+y=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy Min\(K=6\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
H
8 tháng 6 2017
Giải:
Có:
\(P=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
Vì \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0,\forall x\) và \(\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge0,\forall y\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge0;\forall x,y\)
\(\Rightarrow Min_P=0\)
Chúc bạn học tốt!
TB
8 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) và BĐT \(xy\le\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\), ta có:
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{x+y}{xy}\right)^2\)
\(\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}\right)^2=\dfrac{25}{2}\left(x+y=1\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 0,5
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 3 2021
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Rightarrow yz=-xy-zx\Rightarrow\dfrac{yz}{x^2+2yz}=\dfrac{yz}{x^2+yz-xy-zx}=\dfrac{yz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{xz}{y^2+2xz}=\dfrac{xz}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}\) ; \(\dfrac{xy}{z^2+2xy}=\dfrac{xy}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{-yz\left(y-z\right)-zx\left(z-x\right)-xy\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=1\)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy :
\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{4}\ge1\)
\(\dfrac{1}{xy}+xy\ge2\)
Cộng vế theo vế, ta được:
\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{x^2+y^2}{4}+xy\ge3\)
\(\Leftrightarrow P+\dfrac{x^2+y^2+4xy}{4}\ge3\)
\(\Leftrightarrow P+\dfrac{\left(x+y\right)^2+2xy}{4}\ge3\)
\(\Leftrightarrow P+\dfrac{4+2xy}{4}\ge3\Leftrightarrow P\ge3-\dfrac{4-2xy}{4}\) (vì: \(x+y=2\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\) )
Mà: \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Rightarrow4\ge4xy\Rightarrow2\ge2xy\)
\(\Rightarrow P=3-\dfrac{4+2xy}{4}\ge3-\dfrac{4-2}{4}=\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(MinP=\dfrac{3}{2}\) khi \(x+y=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y=2\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow4\ge4xy\Rightarrow xy\le1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{2xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{2}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\left(x+y=2;xy\le1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)