Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2) Có: \(x^3+y^3=\sqrt{\left(x.x^2+y.y^2\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)}\)
And: \(\sqrt{x^3y^3}=\left(\sqrt{xy}\right)^6\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^6=1\)
\(\Rightarrow\)\(x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\sqrt{x^3y^3}\sqrt{x^3y^3\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)}=\sqrt{xy\left(x^2+y^2\right).x^2y^2\left(x^4+y^4\right)}\)
Theo bài 1 thì \(xy\left(x^2+y^2\right)\le2\) do đó theo cách đặt \(x^2=a;y^2=b\) ta cũng có: \(x^2y^2\left(x^4+y^4\right)=ab\left(a^2+b^2\right)\le2\)
Do đó: \(x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\sqrt{2.2}=2\) ( đpcm )
\(VT=\frac{x^4}{x^4+3xyzt}+\frac{y^4}{y^4+3xyzt}+\frac{z^4}{z^4+3xyzt}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+t^4+12xyzt}\)
Có: \(4abcd=4\sqrt{a^2b^2.c^2d^2}\le2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)
Tương tự, ta cũng có:
\(4abcd\le2\left(a^2c^2+b^2d^2\right)\)
\(4abcd\le2\left(d^2a^2+b^2c^2\right)\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+t^4+2\left(xy+yz+zt+tx+yz+zt\right)}=1\) ( đpcm )
\(x+y=4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow4>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=1\)(bđt svacxo)
\(x^2+y^2>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2};xy< =\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow P=x^2+y^2-xy>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}>=\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\)
dấu = xảy ra khi \(x+y=1;x=y\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)
vậy min P là \(\frac{1}{4}\)khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
từ từ hồi trả lời cho câu này củng hơi khó cần thời gian suy nghĩ