Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^4+y^2\geq 2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\Rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(1)\)
\(x^2+y^4\geq 2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2\Rightarrow \frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
Vậy \(A_{\max}=1\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1}=4(*)\)
(do \(x+y\leq 1\) )
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}=2(**)\)
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5(***)\)
Cộng \((*)+(**)+(***)\Rightarrow B\geq 4+2+5=11\)
Vậy \(B_{\min}=11\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(A=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)=1+\dfrac{1}{x^2y^2}-\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\) (1)
và \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (2)
TỪ (2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{x^2y^2}\ge\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}\) và \(\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Mặt khác, theo đề \(x+y\le1\)
=> \(\dfrac{1}{x+y}\ge1\)
=> A \(\ge1+\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}+\dfrac{2}{xy}\) \(\ge1+\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}-\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=1+16-8=9\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = 0,5
Mình đánh nhầm, dòng 2 từ dưới lên phải là \(-\dfrac{2}{xy}\) nhá ! :))
\(M=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}=8\)
\(\Rightarrow M_{min}=8\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Bác google được sinh ra để làm gì, đăng nhiều vc, google có hết mà ;v
Bài 1,2,3,4 đơn giản, tự làm :v
7) \(\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ca}{b^2}=\dfrac{abc}{c^3}+\dfrac{abc}{a^3}+\dfrac{abc}{b^3}=abc\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)=abc.\dfrac{1}{3abc}=\dfrac{1}{3}\)
P/S: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Rightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)
5) ĐK: a>b>0
\(3a^2+3b^2=10ab\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(3a-b\right)=0\)
Tự phân tích
Mà a>b>0=> Chọn a=3b
Thay vào
Bài 6 tương tự bài 5
Có bất mãn chỗ nào thì ib nha bạn :))
\(P=\dfrac{x}{y+1}+\dfrac{y}{x+1}=\dfrac{x}{2-x}+\dfrac{y}{2-y}\)
\(P+2=\dfrac{x}{2-x}+1+\dfrac{y}{2-y}+1=\dfrac{x+2-x}{2-x}+\dfrac{y+2-y}{2-y}\)
\(\dfrac{P+2}{2}=\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{2-y}\ge\dfrac{4}{2-x+2-y}=\dfrac{4}{4-\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{4-1}=\dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{P+2}{2}\ge\dfrac{4}{3};P+2\ge\dfrac{8}{3};P\ge\dfrac{2}{3}\)
x=y=1/2
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(6=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\)
\(\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{xy^2z^3}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{xy^2z^3}\leq 1\Leftrightarrow xy^2z^3\geq 1\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(A=x+y^2+z^3\geq 3\sqrt[3]{xy^2z^3}\geq 3\sqrt[3]{1}=3\)
Vậy \(A_{\min}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\\ x=y^2=z^3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\) thì ta có \(P=8\)
Ta chứng minh nó là GTNN của P
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)
Đặt \(x+y=t\left(t>2\right)\) thì cần c/m:
\(\dfrac{t^2}{t-2}\ge8\Leftrightarrow\dfrac{t^2-8t+16}{t-2}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(t-4\right)^2}{t-2}\ge0\) (đúng với \(t>2\))
Vậy \(P_{Min}=8\) khi \(x=y=2\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=y=2x=y=2 thì ta có P=8P=8
Ta chứng minh nó là GTNN của P
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
P=x2y−1+y2x−1≥(x+y)2x+y−2P=x2y−1+y2x−1≥(x+y)2x+y−2
Đặt x+y=t(t>2)x+y=t(t>2) thì cần c/m:
t2t−2≥8⇔t2−8t+16t−2≥0⇔(t−4)2t−2≥0t2t−2≥8⇔t2−8t+16t−2≥0⇔(t−4)2t−2≥0 (đúng với t>2t>2)
Vậy PMin=8PMin=8 khi x=y=2