Question

[ank viet]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I.

a. Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp được và IK // AB.

b. Chứng minh: AP² = PE .PD = PF . PC

c. Chứng minh: AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED.

d. Gọi R₁, R₂ là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED.

Chứng minh:

R₁+R₂=\(\sqrt{4R^2-PA^2}\)

Answer 1

[Mysterious Person]

a;* ta có : P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB

\(\Rightarrow\) cung PA = cung PB

\(\Rightarrow\) ADP = PCB (2 góc nội tiếp chắng 2 cung bằng nhau)

\(\Leftrightarrow\) IDK = ICK

xét tứ giác CKID có :

IDK = ICK (chứng minh trên)

mà IDK và ICK là 2 góc kề nhau cùng chắng cung IK của tứ giác CKID

\(\Rightarrow\) tứ giác CKID là tứ giác nội tiếp (đpcm)

* ta có : CDA = CBA (2 góc nội tiếp cùng chắng cung CA của (o))

mà CDI = CKI (2 góc nội tiếp cùng chắng cung IC của tứ giác CKID)

\(\Rightarrow\) CKI = CBA

mà CKI và CBA nằm ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow\) AB//IK (đpcm)

Answer 2

[Mysterious Person]

xét \(\Delta\) PAE và \(\Delta\) PDA

ta có : PAB = ADP (cung AP bằng cung PB)

góc P chung

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) PAE đồng dạng \(\Delta\) PDA

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{PA}{PD}\) = \(\dfrac{PE}{PA}\) \(\Leftrightarrow\) PA² = PE . PD (1)

xét \(\Delta\) PAF và \(\Delta\) PCA

ta có : PAB = PCA (cung AP bằng cung PB)

góc p cung

\(\Rightarrow\)\(\Delta\) PAF đồng dạng \(\Delta\) PCA

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{PA}{PC}\) = \(\dfrac{PF}{PA}\) \(\Leftrightarrow\) PA² = PF . PC (2)

từ (1) và (2) ta có PA² = PE . PD = PF . PC (đpcm)