Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn (AB<AD) Tia phân giác BAD cắt BC tại M và cắt DC tại N Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCN
a) C/m: DN=BC và CK vuông góc MN
Do ∡A nhọn và AB < AD nên tia phân giác ∡A cắt
BC tại M∊đoạn BC và N ngoài đoạn DC ( C nằm giữa D,N)
∡BAM = ∡MAD (AM là pg) và ∡BAN = ∡DNA (sl trong)
→∡DAN = ∡DNA → ∆ADN cân đỉnh D → DN = AD = BC
Xét ∆MCN có ∡DAN = ∡DNA ( cm trên) ,
∡DAN = ∡CMN ( đồng vị) →∡CNM = ∡CMN
→ ∆MCN cân đỉnh C → K thuộc trung trực MN
→ CK vuông góc MN
b) C/m BKCD nội tiếp
Gọi E là trung điểm MC, F là trung điểm CN ta có :
KE vuông góc MC, KF vuông góc CN , BE = DF
xét ∆KEC và ∆KFC là 2 ∆ vuông có CK chung,
∡ECK = ∡FCK ( ∆MCN tại C và CK là trung trực, pg...)
→ ∆KEC = ∆KFC → EK = FK
xét hai tam giác vuông ∆KEB và ∆KFD có BE = DF (cm trên)
KE = KF (cm trên) → ∆KEB = ∆KFD →∡KBE = ∡KDF
hay ∡KBC = ∡KDC . B và D cùng phía so với đường thẳng
CK mà ∡KBC = ∡KDC → B, C, D, K thuộc đường tròn
( quỹ tích cung chứa góc ) → BKCD nội tiếp
bức tranh được UNESCO công nhận là bức tranh đẹp nhất thế giới. Có 1 0 2
A B C D O a b c d
+) Dễ có tam giác OAB đồng dạng với tam giác ODC (góc AOB = DOC do đối đỉnh; góc BAC = BDC do góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
=> \(\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{DC}=\frac{a}{c}\)
+) Tương tự, tam giác OAD đồng dạng với tam giác OBC (g - g)
=> \(\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{b}{d}\)
+) Ta có: \(\frac{OB}{OC}+\frac{OD}{OC}=\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}\)=> \(\frac{OB+OD}{OC}=\frac{BD}{OC}=\frac{ad+bc}{cd}\Rightarrow\frac{OC}{BD}=\frac{cd}{ad+bc}\) (1)
+) ta có: \(\frac{OA}{OD}=\frac{a}{c};\frac{OA}{OB}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{c}{a};\frac{OB}{OA}=\frac{d}{b}\)
=> \(\frac{OD}{OA}+\frac{OB}{OA}=\frac{BD}{OA}=\frac{c}{a}+\frac{d}{b}=\frac{bc+ad}{ab}\Rightarrow\frac{OA}{BD}=\frac{ab}{bc+ad}\)(2)
Từ (1)(2) => \(\frac{OC}{BD}+\frac{OA}{BD}=\frac{cd+ab}{ad+bc}\Rightarrow\frac{AC}{BD}=\frac{ab+cd}{ad+bc}\)