Question

[Quoc Tran Anh Le]

Cho từ giác ABCD có \(AB \bot CD;AB = 2;BC = 13;CD = 8;DA = 5\) (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x=AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.

Answer 1

[Hà Quang Minh]

Ta có :AH=x (x>0)

Xét tam giác AHD vuông ở H, ta có:

\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \Leftrightarrow H{D^2} = A{D^2} - A{H^2} = 25 - {x^2}\)

\( \Rightarrow HD = \sqrt {25 - {x^2}} \)

Ta có: \(HC = HD + DC = \sqrt {25 - {x^2}}  + 8\)

\(HB = AH + AB = x + 2\)

Xét tam giác HBC vuông tại H, ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = H{B^2} + H{C^2}\\ \Leftrightarrow {13^2} = {(x + 2)^2} + {\left( {\sqrt {25 - {x^2}}  + 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 169 = {x^2} + 4x + 4 + 25 - {x^2} + 16\sqrt {25 - {x^2}}  + 64\\ \Leftrightarrow 16\sqrt {25 - {x^2}}  =  - 4x + 76\\ \Leftrightarrow 4\sqrt {25 - {x^2}}  =  - x + 19\end{array}\)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}16(25 - {x^2}) = {x^2} - 38x + 361\\ \Leftrightarrow 17{x^2} - 38x - 39 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x = \frac{{ - 13}}{{17}}\)

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình, ta thấy hai giá trị đều thỏa mãn

Do x>0 nên ta chọn x = 3 => AH = 3

\(\begin{array}{l}HD = \sqrt {25 - {3^2}}  = 4\\HC = 4 + 8 = 12\\HB = 3 + 2 = 5\end{array}\)

Diện tích tam giác HAD là \({S_1} = \frac{1}{2}.HA.HD = \frac{1}{2}.3.4 = 6\)

Diện tích tam giác HBC là \({S_2} = \frac{1}{2}.HB.HC = \frac{1}{2}.5.12 = 30\)

Vậy diện tích tứ giác ABCD là \(S = {S_2} - {S_1} = 30 - 6 = 24\)