Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng: IJ // CD.
Gọi K là trung điểm của AB.
Vì I là trọng tâm của tam giác ABC nên I ∈ KC và vì J là trọng tâm của tam giác ABD nên J ∈ KD.
Từ đó suy ra
a: Gọi E là trung điểm của AB
ΔABC đều nên CE vuông góc AB
ΔABD đều nên DE vuông góc AB
=>AB vuông góc (CDE)
=>AB vuông góc CD
b: Xét ΔCAB có CN/CB=CM/CA
nên MN//AB và MN=1/2AB
Xét ΔDAB có DQ/DA=DP/DB
nên PQ//AB và PQ/AB=DQ/DA=1/2
=>MN//PQ và MN=PQ
=>MNPQ là hình bình hành
Xét ΔADC có AQ/AD=AM/AC
nên QM//DC
=>QM vuông góc AB
=>QM vuông góc QP
=>MNPQ là hình chữ nhật
Trong mp(BCD), gọi M là giao điểm của KJ với DC
\(M\in KJ\subset\left(IJK\right)\)
\(M\in CD\subset\left(ACD\right)\)
Do đó: \(M\in\left(IJK\right)\cap\left(ACD\right)\left(1\right)\)
\(I\in AC\subset\left(ACD\right);I\in\left(IJK\right)\)
=>\(I\in\left(ACD\right)\cap\left(IJK\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(IJK\right)\cap\left(ACD\right)=MI\)
Xét ΔCAB có
\(\dfrac{CI}{CA}=\dfrac{CJ}{CB}=\dfrac{1}{2}\)
nên IJ//AB
\(K\in BD\subset\left(ABD\right);K\in\left(IJK\right)\)
=>\(K\in\left(ABD\right)\cap\left(IJK\right)\)
Xét (ABD) và (IJK) có
\(K\in\left(ABD\right)\cap\left(IJK\right)\)
IJ//AB
Do đó: (ABD) giao (IJK)=xy, xy đi qua K và xy//IJ//AB
a/
Ta có
M là trọng tâm tg ABC \(\Rightarrow\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{1}{2}\)
N là trọng tâm tg ACD \(\Rightarrow\dfrac{NK}{NA}=\dfrac{1}{2}\)
Xét tg AIK có
\(\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{NK}{NA}=\dfrac{1}{2}\) => MN//IK (Talet đảo trong tam giác)
Ta có
\(I\in BC;BC\in\left(BCD\right)\Rightarrow I\in\left(BCD\right)\)
\(K\in CD;CD\in\left(BCD\right)\Rightarrow K\in\left(BCD\right)\)
\(\Rightarrow IK\in\left(BCD\right)\) Mà MN//IK (cmt) => MN//(BCD)
Các trường hợp khác c/m tương tự
b/
Trong (ABC) từ M dưng đường thẳng // BC cắt AB; AC tại X và Y
Trong (ACD) nối YN cắt AD tại Z
Xét tg ABC có
\(\dfrac{XB}{XA}=\dfrac{YC}{YA}=\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{1}{2}\) (Talet trong tam giác)
XY//BC; \(BC\in\left(BCD\right)\) => XY//(BCD)
Xét tg ACK có
\(\dfrac{YC}{YA}=\dfrac{NK}{NA}=\dfrac{1}{2}\) => YN//CK => YZ//CD
mà \(CD\in\left(BCD\right)\) => YZ//(BCD)
=> (XYZ)//(BCD)
Ta có MP//(BCD); MN//(BCD) => (MNP)//(BCD)
mà \(M\in\left(MNP\right);M\in\left(XYZ\right)\)
\(\Rightarrow\left(MNP\right)\equiv\left(XYZ\right)\) (Từ 1 điểm ngoài 1 mặt phẳng cho trước chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua điểm đã cho và // với mặt phẳng cho trước)
=> (XYZ) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi (MNP)
Câu b đề bài thiếu, tìm giao tuyến của mặt nào và (ABD) vậy em?