Question

[Hà Trần]

Cho tập A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất. Trong mỗi tập con gồm k phẩn tử của A đều tồn tại 2 số phân biệt a,b sao cho \(a^2+b^2 là \) số nguyên tố

@Akai Haruma

Answer 1

[Akai Haruma]

Thật lòng xin lỗi vì bây giờ mới nhìn thấy bài tag của bạn.

Lời giải:

Tập hợp $A$ bao gồm $8$ số chẵn và $8$ số lẻ.

Nếu \(k\leq 8\). Ta có thể chọn một tập hợp \(S\) gồm $k$ phần tử chỉ gồm toàn số chẵn hoặc toàn số lẻ. Khi đó, mọi \(a,b\in S\) thì \(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2\vdots 2\\ a^2+b^2> 2\end{matrix}\right.\) hay \(a^2+b^2\not\in\mathbb{P}\) (không thỏa mãn)

Do đó \(k>8\)

Nếu \(k=9\). Ta sẽ chỉ ra $k=9$ là số nhỏ nhất thỏa mãn bằng cách xét 8 nhóm sau:

\((1,16)\); \((2,15); (3,10); (4, 11); (5,6); (7,12); (8, 13); (9, 14)\)

(các cặp này được lấy ra từ 16 số nguyên dương thỏa mãn tổng các bình phương là số nguyên tố)

Khi đó trong tập $S$ gồm $9$ phần tử, theo nguyên lý Dirichlet ta luôn tồn tại ít nhất \(\left[\frac{9}{8}\right]+1=2\) phần tử thuộc cùng một nhóm, tức là trong tập S gồm $9$ phần tử luôn chọn ra được 2 phần tử \((a,b)\) thỏa mãn \(a^2+b^2\) là số nguyên tố.

Vậy \(k=9\)

Answer 2

[Cầm Đức Anh]

k nhỏ nhất = 9.