Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C A' B' C' M
Ta có ; \(\frac{MA'}{AA'}=\frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{MB'}{BB'}=\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{MC'}{CC'}=\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{MA'}{AA'}+\frac{MB'}{BB'}+\frac{MC'}{CC'}=\frac{S_{BMC}+S_{AMC}+S_{AMB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Áp dụng bất đằng thức Cauchy : \(\frac{MA'}{AA'}.\frac{MB'}{BB'}.\frac{MC'}{CC'}\le\left(\frac{MA'+MB'+MC'}{3}\right)^3=\left(\frac{1}{3}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{MA'}{AA'}.\frac{MB'}{BB'}.\frac{MC'}{CC'}\le\frac{1}{27}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\frac{MA'}{AA'}=\frac{MB'}{BB'}=\frac{MC'}{CC'}\\\frac{MA'}{AA'}+\frac{MB'}{BB'}+\frac{MC'}{CC'}=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{MA'}{AA'}=\frac{MB'}{BB'}=\frac{MC'}{CC'}=\frac{1}{3}\)
Vậy dấu "=" xảy ra khi M là trọng tâm của tam giác ABC.
2:
a: HM là đường trung bình của ΔEBC
=>EH=HB
KM là đường trug bình của ΔFBC
=>FK=KC
ΔAHM có EO//HM
=>AE/AH=AO/AM
ΔAKM có KM//FO
nên AF/AK=AO/AM
=>AE/AH=AF/AK
=>EF//HK
b: ΔAHM có EO//HM
=>MA/MO=HA/HE
=>MA/MO=HA/HB
ΔAKM có FO//KM
=>MA/MO=KA/KF=KA/KC
=>HA/HB=KA/KC
=>HK//BC
=>EF//BC
Đặt \(S_{AMB}=a;S_{BMC}=b;S_{CMA}=c\)
Ta có \(\frac{AM}{MA'}+\frac{BM}{MB'}+\frac{MC}{MC'}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)=\(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ge6\)(cô-si)
bài 2 bạn tự vẽ hình nha
xét tam giác vuông ABC và tam giác vuông DBA co chung goc BAC
==> tam giác ABC đồng dạng với tam giác DBA
==> AB/BC=BD/AB (1)
xét tam giác DBA có BF là phân giác ==> BD/AB=DF/AF(2)
xét tam giác vuông BAC có BE là phân giác ==> AB/BC=AE/EC (3)
từ (1) (2) (3) ta có DF/FA =AE/EC (vì cùng bằng AB/BC )