Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D H E F
Gộp a) + b) lại cho dễ làm:
Xét hai tam giác ABE và tam giác ACF:
Ta thấy rằng: \(\widehat{BEA}=\widehat{CFA}\)
Mà: \(\widehat{BEA}+\widehat{BAC}+\widehat{ABE}=180^o\Rightarrow\widehat{ABE}=180^o-\widehat{BEA}-\widehat{BAC}\) (tổng ba góc trong tam giác)
\(\widehat{CFA}+\widehat{BAC}+\widehat{ACF}=180^o\Rightarrow\widehat{ACF}=180^o-\widehat{CFA}-\widehat{BAC}=180^o-\widehat{BEA}-\widehat{BAC}=\widehat{ABE}\)
Từ đây,ta có: \(\widehat{ACF}=\widehat{ABE}\).Từ đây kết hợp giả thiết góc ABC > góc ACB suy ra: \(\widehat{ABC}-\widehat{ABE}>\widehat{ACB}-\widehat{ACF}\)
Hay góc EBC > góc FCB . Đầu tiên,ta dễ c/m B,H,E thẳng hàng ,do BE là đường cao xuất phát từ đỉnh B.Lại thấy rằng H là giao điểm của 2 đường cao nên đường cao còn lại cũng đi qua nó.Do vậy H là trực tâm)Ta sẽ c/m C,H, F thẳng hàng để suy ra EBC = HBC > FCB = HCB tức là góc HBC > góc HCB.Để từ đó theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BHC ta suy ra HC > HB
(mai mình hướng dẫn tiếp,buồn ngủ quá!)
Chứng minh tiếp từ chỗ c/m C, H, F thẳng hàng nhé: (không chắc lắm đâu,mình dốt hình)
Ta có: H là giao điểm của hai đường cao nên đường cao còn lại cũng đi qua H hay H là trực tâm.
Lại có: CH là đoạn thẳng xuất phát từ C đến trực tâm H nên thuộc đường cao xuất phát từ C. (1)
HF là đoạn thẳng hạ từ trực tâm H vuông góc với AB nên thuộc đường cao xuất phát từ C (2)
Từ (1) và (2) suy ra C, H, F thẳng hàng (3)
Từ đây suy ra \(\widehat{EBC}=\widehat{HBC}>\widehat{FCB}=\widehat{HCB}\)
Hay \(\widehat{HBC}>\widehat{HCB}\) vậy theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BHC ta suy ra HC > HB
b) Theo kết quả của (3) (ở câu a) ta có C, H, F thẳng hàng.
c)Theo giả thiết ở câu a) ta có: \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\).Theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện của tam giác ABC suy ra AC > AB
Suy ra AC + AB > AB + AB = 2AB (4).
Lại có: Tam giác ABD vuông tại D (giả thiết AD là đường cao hạ từ A vuông góc với BC). Do đó AB là cạnh lớn nhất.
Suy ra AB > AD suy ra 2AB > 2AD (5)
Từ (4) và (5) kết hợp lại,ta có: AC + AB > 2AB > 2AD tức là AC + AB > 2AD.
d) Đang suy nghĩ...
Gọi các đường cao của tam giác nhọn ABC là BD và CE
Từ H kẻ HS//AC,HR//AB (S thuộc AB,R thuộc AC)
HA<AR+RH (Bất đẳng thức tam giác)
Hay HA<AR+AS (1)
AB//HR, AB vuông góc với CE => HR vuông góc với CE
=> Tam giác HRC vuông tại H => RC>HC (RC là cạnh huyền) (2)
HS//AC, AC vuông góc HC => SH vuông góc HD
=> Tam giác SHE vuông tại H => BS>BH (BH là cạnh huyền) (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra HA+HC+HB<AR+AS+RC+BS
Hay HA+HC+HB< (AR+RC)+(AS+BS)
HA+HC+HB<AC+AB
Tương tự ta cũng có: HA+HB+HC<AC+AB
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<BC+AC
Cộng 2 vế ta được: 3(HA+HB+HC)<2(AC+AB+BC)
HA+HB+HC<2/3(AC+AB+BC) (ĐPCM)
Qua H kẻ HF // AB (F thuộc AC), HE // AC (E thuộc AB)
H là trực tâm ▲ ABC => BH ┴ AC mà HE // AC => BH ┴ HE (từ ┴ đến //)
=> ▲ BHE vuông tại H => BE > BH (t/c ▲ vuông) (1)
Chứng minh tương tự, ta được CF > CH (2)
HE // AF, HF // AE => AEHF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) => AE = HF (2 cạnh đối) (3)
Xét ▲ AHF có AF + HF > AH (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) => AE + AF > AH (5)
Từ (1), (2) và (5) => BE + CF + AE + AF > AH + BH + CH => AB + AC > AH + BH + CH (6)
Chứng minh tương tự, ta được:
* AB + BC > AH + BH + CH (7)
* AC + BC > AH + BH + CH (8)
Từ (6), (7) và (8) => 2(AB + AC + BC) > 3(AH + BH + CH) => HA + HB + HC < 2/3(AB + AC + BC)
Kẻ HD//AB,HE//ACHD//AB,HE//AC
\(\Rightarrow\)AD=HE;AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+ADAH<AE+HE=AE+AD
ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
\(\Rightarrow\)HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
Chứng minh tương tự ta được:
HA+HB+HC<AB+BCHA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BCHA+HB+HC<AC+BC
\(\Rightarrow\) 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
\(\Rightarrow\)HA + HB + HC < \(\frac{2}{3}\)(AB+AC+BC)(ĐPCM)
-> HA+HB+HC<23(AB+AC+BC)
Kẻ HD//AB ,HE//AC
−>AD=HE; AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+AD
xét ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BC
K/h có :
3 (HA+HB+HC) < 2 (AB+AC+BC)
-> HA+ HB + HC< \(\frac{2}{3}\)(AB+AC+BC)
Em tham khảo nhé!
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath