Question

[Ngô Bảo Sơn]

Cho tam giác ABC vuông tại A,AB<AC,đường cao AH.Kẻ AD là tia phân giác của góc HAC( D thuộc BC) .Kẻ DK vuông góc với AC(K thuộc AC).

a)cm:ADH=ADK

b)Cm:tam giác ABD cân tại b

c) Cm:Gọi I là giao điểm giữa AH và tia phân giác của ABC.CM:ID//AC

d)Cm:AB+AC<BC+AH.  ( Giúp mình câu c,d với ạ)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAKD vuông tại K có

AD chung

\(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\)

Do đó: ΔAHD=ΔAKD

=>\(\widehat{ADH}=\widehat{ADK}\)

b: Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{BDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(ΔHAD vuông tại H)

mà \(\widehat{CAD}=\widehat{HAD}\)

nên \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)

=>ΔBAD cân tại B

c: Xét ΔBAH có BI là phân giác

nên \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}\)(1)

Xét ΔAHC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{HD}{DC}=\dfrac{AH}{AC}\)(2)

Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{HB}{AB}\)(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{HI}{IA}=\dfrac{HD}{DC}\)

Xét ΔHAC có \(\dfrac{HI}{IA}=\dfrac{HD}{DC}\)

nên ID//AC
d: ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\left(AB+AC\right)^2-\left(BC+AH\right)^2\)

\(=AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC-BC^2-2\cdot BC\cdot AH-AH^2\)

\(=\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)+\left(2\cdot AB\cdot AC-2\cdot BC\cdot AH\right)-AH^2\)

\(=-AH^2< 0\)

=>\(\left(AB+AC\right)^2< \left(BC+AH\right)^2\)

=>AB+AC<BC+AH