Question

[Đặng An Na]

cho tam giác ABC vuông tại A , tia phân giác BD của góc ABC cắt AC tại D . Vẽ DH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) .

a) Chứng minh rằng tam giác ABD = tam giác HBD . Từ đó suy ra BD là trung trực của AH

b) Chứng minh AD < DC

Answer 1

[%Hz@]

A)XÉT \(\Delta ABD\)VÀ\(\Delta HBD\)CÓ

\(\widehat{BAD}=\widehat{BHD}=90^o\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{DBH}\left(GT\right)\)

BD LÀ CẠNH CHUNG

=>\(\Delta ABD\)=\(\Delta HBD\)(CẠNH HUYỀN - GÓC NHỌN ) ( ĐPCM)

GỌI I LÀ GIAO ĐIỂM CỦA BD VÀ AH

XÉT \(\Delta ABI\)VÀ\(\Delta HBI\)CÓ

\(AB=BH\left(\Delta ABD=\Delta HBD\right)\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{DBH}\left(GT\right)\)

BI LÀ CẠNH CHUNG

=>\(\Delta ABI\)=\(\Delta HBI\)(C-G-C)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{HIB}\)( HAI GÓC TƯƠNG ỨNG)

MÀ HAI GÓC NÀY KỀ BÙ 

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{HIB}=\frac{180^o}{2}=90^o\left(1\right)\)

mà\(\Delta ABI\)=\(\Delta HBI\)(C-G-C)

=> AI=HI( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG ) (2)

TỪ 1 VÀ 2 => BI LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA AH HAY BD LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA AH(ĐPCM)

B)

b)  

Vì  \(\Delta\)DBA =\(\Delta\) DBH ( cm ở câu a )

=) AD = DH 

Xét\(\Delta\)DHC ( DHC = 90 ) có :

DC là cạnh huyền 

\(\Rightarrow\) DC là cạnh lớn nhất 

\(\Rightarrow DC>DH\)

mà DH = AD

\(\Rightarrow AD< DC\)

Answer 2

[Nhật Hạ]

a, Xét △ABD vuông tại A và △HBD vuông tại H

Có: BD là cạnh chung

       ABD = HBD (gt)

=> △ABD = △HBD (ch-gn)

=> AB = BH (2 cạnh tương ứng) => B thuộc đường trung trực của AH

và AD = HD (2 cạnh tương ứng) => D thuộc đường trung trực của AH

=> BD là đường trung trực của AH

b, Xét △HDC vuông tại H có: DC > DH (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

=> DC > AD