Question

[Mĩ Anh]

cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N (N không trùng với C). Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D( D không trùng với M)

1, chứng minh tứ giác BADC nội tiếp được trong một đường tròn. Tìm tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BADC.

2, chứng minh BD là phân giác góc ADN

3, chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC

4, BA vad CD kéo dài cắt nhau tại P. chứng minh 3 điểm P, M, N thẳng hàng

Answer 1

[Happy]

Hình bạn tự vẽ nha

a) Xét đường tròn đường kính MC

Ta có góc MDC=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa dt)

Hay góc BDC = 90 độ

Xét tứ giác BADC có 

Góc BAC =90 ĐỘ (GT)

Góc BDC =90 độ (cmt)

Mà hai đỉnh của góc này ở vị trí  kề nhau do đó tứ giác BADC nt đường tròn ĐK BC

tâm O của dt là trung điểm BC

b)Xét dt đk BC có 

Góc ADB=GÓC  ACB (hai góc nt cùng chắn cung AB)(1)

Xét đường dt đường kính MC có góc MDN= GÓC MCN (hai góc nt cùng chắn cung MN)

hay Góc BMN  = GÓC ABC (2) 

Từ (1) (2) suy ra Góc ADB = Góc BDN (= góc ABC)

=> BD là phần giác góc ADN (đpcm)

c)Xét tam giác ABC có

AM=MC(GT)

OB=OC (=BÁN KÍNH CỦA DT NGOẠI TIẾP TỨ GIÁC BADC)

=> OM lad đtb của tam giác ABC

Suy ra OM//AB (t/c Đtb)

Do đó Góc OMC = 90 độ

Suy ra OM là tt của dt dk MC

d)Xét dt dk MC có

Góc MNC = 90 dộ (góc nt chắn nửa dt)

Hay góc PNC =90 độ

Xét Tam giác BPC CÓ

BD vuông góc PC ( góc BDC =  90) (cmt)

AC vuông góc với PB (góc ABC =90)(GT)

Mà hai đường thẳng này cắt nhau tại M do đó M là trực tâm của tam giắc BPC

Mặc khác PN vuông góc BC (Góc BNC = 90 ĐỘ) (cmt)

Do đó PN sẽ đi qua M => Ba điểm P,N,C thẳng hàng

--------------------------------------------------Hết------------------------------------------

Bài làm còn nhiều thiếu xót đặc biệt là cach trình bày mặt dù tớ hiểu mong các góp  ý kiến đẻ mình hoàn thiện hơn