Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: \(AB.sinC+AC.cosC=AB.\dfrac{AB}{BC}+AC.\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB^2}{BC}+\dfrac{AC^2}{BC}\)
\(=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC}=\dfrac{BC^2}{BC}=BC\)
b) Vì \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) nội tiếp
\(\Rightarrow EF=AH\Rightarrow EF.BC.AE=AH.BC.AE\)
\(=AB.AC.AE\left(AB.AC=AH.BC=2S_{ABC}\right)=AE.AB.AC\)
\(=AH^2.AC=AF.AC.AC=AF.AC^2\)
c) Ta có: \(AH.BC.BE.CF=AB.AC.BE.CF=BE.BA.CF.CA\)
\(=BH^2.CH^2=\left(BH.CH\right)^2=\left(AH^2\right)^2=AH^4\)
\(\Rightarrow AH^3=BC.BE.CF\)
Vì AEHF là hình chữ nhật \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=HF\\AF=EH\end{matrix}\right.\)
Vì \(BE\parallel HF\) \(\Rightarrow\angle CHF=\angle CBA\)
Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle EBH=\angle FHC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BE}{EH}=\dfrac{HF}{FC}\Rightarrow\dfrac{BE}{AF}=\dfrac{AE}{CF}\)
\(\Rightarrow BE.CF=AE.AF\Rightarrow BC.AE.AF=BC.BE.CF=AH^3\)
b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(BE\cdot BA=BH^2\)
hay \(BE=\dfrac{BH^2}{BA}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền CA, ta được:
\(CF\cdot CA=CH^2\)
hay \(CF=\dfrac{CH^2}{CA}\)
Ta có: \(\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{CA}\)
\(=\dfrac{BH^2}{CH^2}\cdot\dfrac{AC}{AB}\)
\(=\dfrac{AB^4\cdot AC}{AC^4\cdot AC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)
a) Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HB.HC}{HC^2}=\dfrac{HA^2}{HC^2}=\left(\dfrac{HA}{HC}\right)^2\)
Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BAC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AHC=\angle BAC=90\\\angle ACBchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AHC\sim\Delta BAC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{c^2}{b^2}\)
b) tham khảo ở đây:https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-dabc-vuong-tai-a-duong-cao-ah-goi-e-f-lan-luot-la-cac-hinh-chieu-cua-h-tren-ab-va-ac-cmra-aeabaf.1150118751274
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(AB^2=BH.BC\)
\(AC^2=CH.CB\)
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{c^2}{b^2}\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(BH^2=BE.BA\)
\(CH^2=CF.CA\)
\(\Rightarrow\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE}{CF}.\dfrac{BA}{CA}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{c^4}{b^4}=\dfrac{BE}{CF}.\dfrac{c}{b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{c^3}{b^3}\)
a) Xét ΔABC vuông tại A có HB là hình chiếu của AB trên BC(AH là đường cao ứng với cạnh BC)
nên \(AB^2=HB\cdot BC\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét ΔABC vuông tại A có HC là hình chiếu của AC trên BC(AH là đường cao ứng với cạnh BC)
nên \(AC^2=HC\cdot BC\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Ta có: \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB\cdot BC}{HC\cdot BC}=\frac{HB}{HC}\)(đpcm)
b) Xét ΔAHB vuông tại H có BE là hình chiếu của HB trên AB(HE là đường cao ứng với cạnh AB)
nên \(HB^2=BE\cdot AB\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét ΔAHC vuông tại H có CF là hình chiếu của CH trên AC(HF là đường cao ứng với cạnh AC)
nên \(HC^2=CF\cdot AC\)(định lí 1 về hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Ta có: \(\frac{HB}{HC}=\frac{AB^2}{AC^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{HB}{HC}\right)^2=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2=\frac{AB^4}{AC^4}\)
hay \(\frac{HB^2}{HC^2}=\frac{AB^4}{AC^4}\)
mà \(\frac{HB^2}{HC^2}=\frac{BE\cdot AB}{CF\cdot AC}\)
nên \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BE\cdot AB}{CF\cdot AC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BE}{CF}\cdot\frac{AB}{AC}\)
hay \(\frac{BE}{CF}=\frac{AB^4}{AC^4}:\frac{AB}{AC}=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)