Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ADME là hình chữ nhật (3 góc vuông)
=> ED = AM
AM ngắn nhất khi AM vuông góc vs BC
=> ED ngắn nhất khi M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC
a) tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)
tam giác AHC vuông tại H có đường cao HF nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AF.AC=AH^2=AE.AB\)
b) \(AE.AB=AF.AC\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\\\angle BACchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)
c) Ta có: \(AH^4=AH^2.AH^2=AE.AB.AF.AC\)
tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AB.AC=AH.BC\)
\(\Rightarrow AH^4=AE.AF.BC.AH\Rightarrow AH^3=AE.AF.BC\)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
b) Ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
nên \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAFE vuông tại A và ΔABC vuông tại A có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)(cmt)
Do đó: ΔAFE\(\sim\)ΔABC(c-g-c)
Vẽ DF _|_ AH tại F, do đó AF=HE, HA=FE
Áp dụng đinhk lý Pytago vào các tam giác vuông HEB, FDE, HAB, FAD, ABD ta sẽ chứng minh \(BE^2+ED^2=BD^2\)
Do đó \(\Delta\)BED vuông tại E => \(\widehat{BED}=90^0\)
*Không hiểu chỗ nào inbox*
A B C D E I S O
1) Xét đường tròn (O) đường kính CD => ^CED = 900 => ^DEB = 900
Xét tứ giác ADEB có: ^BAD + ^ DEB = 900 + 900 = 1800 => Tứ giác ADEB nội tiếp
Hay 4 điểm A,D,E,B cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
2) Tứ giác ADEB nội tiếp => ^DEA = ^DBA. Tương tự: ^DEI = ^DCI
Ta có: Tứ giác ABCI nội tiếp của đường tròn đường kính BC (Do ^BAC = ^BIC = 900)
=> ^DBA = ^DCI. Từ đó, suy ra: ^DEA = ^DEI => ED là phân giác ^AEI (đpcm).
3) Dễ thấy DE, CI, BA là 3 đường cao của \(\Delta\)BCD nên AB,CI,DE đồng quy (tại trực tâm \(\Delta\)BCD) (đpcm).
4) Xét \(\Delta\)ABC có vuông tại A: \(\tan\widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}\)(theo gt)
Để EA là tiếp tuyến của (CD) thì ^AED = ^DCE. Hay ^ABD = ^ACB (Vì ^AED=^ABD)
<=> \(\Delta\)ADB ~ \(\Delta\)ABC (g,g) <=> \(AB^2=AD.AC\) <=> \(\left(\frac{AC}{\sqrt{2}}\right)^2=AD.AC\)
<=> \(AD=\frac{AC}{2}\)<=> D là trung điểm cạnh AC.
Vậy D là trung điểm AC thì EA là tiếp tuyến của (CD).