Question

[Phạm An Nguyên]

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC>AB , đường cao AH (H thuộc BC) Trên tia HC lấy D/ D HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. CMR:

a, HD² =BH.HC 

b, CM: tam giác tam giác BEC đồng dạng với ADC

c, CM tam giác ABE vuông cân

d, Gọi M là trung điểm BE vẽ tianAM cắt BC tại G. CM:

GB/BC bằng HD/(AH+HC)

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

b) Chứng minh tam giác BEC đồng dạng tam giác ADC

Xét \(\Delta CAB\)và \(\Delta CDE\) có:

^CAB = ^CDE (=1v)

^C chung 

=>  \(\Delta CAB\)~\(\Delta CDE\)

=> \(\frac{CB}{CE}=\frac{CA}{CD}\) (1) 

Xét \(\Delta CAD\)và \(\Delta CBE\)có:

\(\frac{CB}{CE}=\frac{CA}{CD}\)( từ (1))

và \(\widehat{C}\)chung

=>  \(\Delta CAD\)~ \(\Delta CBE\)

c) Chứng tam giác ABE vuông cân.

+) Ta có: AB \(\perp\)AC (\(\Delta\)ABC vuông )

mà E \(\in\)AC

=> AB \(\perp\)AE => \(\Delta\)ABE vuông  

+) Theo (a) =>   ^DAC = ^EBC  

Gọi N là giao điểm của AD và BE 

Xét \(\Delta\)DNB và  \(\Delta\)ENA có:

^ENA = ^DNB ( đối đỉnh)

^NBD = ^NAE (    vì ^DAC = ^EBC )  

=>  \(\Delta\)DNB ~  \(\Delta\)ENA  

=> ^NDB = ^NEA  

Xét  \(\Delta\)ABE và  \(\Delta\)HAD có:

^AEB = ^HDA ( vì ^NDB = ^NEA  )  (1)

^^BAE = ^AHD ( =1v)

=>   \(\Delta\)ABE ~  \(\Delta\)HAD

=> ^HAD = ^ ABE  (20

mà \(\Delta\)AHD có: AH=HD => \(\Delta\)AHD cân => ^HAD =^ HDA (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => ^ABE =^BEA =>\(\Delta\)ABE cân 

Vậy \(\Delta\) ABE vuông cân tại A

d) Ta có: M là trung điểm BE => AM là đường trung tuyến \(\Delta\)ABE mà \(\Delta\)ABE vuông cân tại A

=> AM là đường phân giác ^A của \(\Delta\)ABE

=> AG là đường phân giác ^A của \(\Delta\)ABC

Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}\)

Mà \(\Delta\)ABH  ~\(\Delta\)CAH ( dễ tự chứng minh)

=> \(\frac{AB}{CA}=\frac{AH}{CH}\)

=> \(\frac{GB}{GC}=\frac{AH}{CH}\Rightarrow\frac{GB}{AH}=\frac{GC}{CH}=\frac{GB+GC}{AH+CH}=\frac{BC}{AH+CH}\)( tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\frac{GC}{BC}=\frac{AH}{AH+CH}=\frac{DH}{AH+CH}\)( vì AH=DH)

Answer 2

[Phạm An Nguyên]

(tớ mới giải được câu a)

Xét tam giác AHB và CHA => AH/CH = HB/AH mà AH=HD => tỉ số đồng dạng