Question

[ッϯσàη➻❥ϯίềη➻❥ϯỷ`•.¸¸.•´´¯`••._.•]

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC. tia phân giác của góc B cắt AC ở D, đường thảng qua D và vuông góc với BC tại H . Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB, đường thẳng qua E vuông gosdc với AE cắt tia DH ở K.

 CMR BD là trung trực của đoạn thẳng AH

Answer 1

[tam mai]

Xét \(\Delta BAD\)(\(\widehat{A}=90^o\))và \(\Delta BHD\)(\(\widehat{H}=90^o\))có:

\(\widehat{ABD=\widehat{HBD}}\)(gt)

BD: cạnh chung

=> \(\Delta ABD=\Delta HBD\left(CH-GN\right)\)

=> AB=BH; AD=DC (2 cạnh t/ứng)

và \(\widehat{BDA=\widehat{BDC}}\)(2 góc t/ứng)

Xét \(\Delta ABH\)cân tại B(vì AB=BH[cmt]) có : BD là đường p.g

=> B là điểm thuộc đường trung trực AH (1)

Xét \(\Delta ADH\)cân tại D(vì AD=DH(cmt)) có: DB là đường p.g ( vì \(\widehat{BDA=\widehat{BDC}}\))

=> D là điểm thuộc đường trung trực AH (2)

Từ (1) và (2)=> BD là trung trực của đt AH

Answer 2

[Cá Chép Nhỏ]

+ Xét \(\Delta ABD\)vuông tại A và \(\Delta HBD\)vuông tại H ( vì \(DH\perp BC\))

Có : BD là cạnh chung

        \(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)( Vì BD là p/g của góc B)      => \(\Delta ABD=\Delta HBD\)( canh huyền-góc nhọn)

                                                                                       => AB = HB

+ Gọi I là giao điểm của BD và AH

CM đc : \(\Delta ABI=\Delta HBI\)(c-g-c)

=> IA = IH ( 2 cạnh tương ứng)    (1)

và \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH}\)( 2 góc t.ư)

Vì \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH};\widehat{BIA}+\widehat{BIH}=180^o\)( 2 góc k.bù)

=> \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH}=\frac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow BD\perp AH\)tại I (2)

Từ (1),(2) => BD là trung trực của đth AH