Question

[Nguyễn Thị Phương Anh]

cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC).M là trung điểm của BC ,D là điểm đối xứng của A qua M , E là điểm đối xứng với A qua BC

a) chứng minh AC=BD

b) tứ giác BCDE là hình gì ?

c) gọi H là giao điểm của AE và BC . Vẽ tia Ax song song với HD và cắt BC tại I . chứng minh ID=IH

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C D E H x I

a/

Ta có

BM = CM (gt)

MA=MD (gt) 

=> ABDC là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => AB=CD (cạnh đối hbh)

b/

E đối xứng A qua BC => HA=HE

MA=MD (gt)

=> HM là đường trung bình của tg ADE => HM//DE hay BC//DE

=> BCDE là hình thang (1)

Ta có

 E đối xứng A qua BC => \(BC\perp AE\) => BC là đường cao tg ABE

E đối xứng A qua BC => BC là trung trực của AE => BC là trung trực của tg ABE

=> tg ABE cân tại B (tam giác có đường cao đường thời là đường trung trực thì tg đó là tg cân)

=> AB=BE (cạnh bên tg cân ABE)

Mà AB=CD (cmt)

=> BE=CD (2)

Từ (1) và (2) => BCDE là hình thang cân

c/

Xét tứ giác AIDH có

AI//DH (gt) (1)

\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{MDH}\)  (góc so le trong) (2)

MA=MD (gt) (3)

\(\widehat{AMI}=\widehat{DMH}\) (góc đối đỉnh) (4)

Từ (2) (3) (4) => tg AMI = tg DMH (g.c.g) => AI=DH (5)

Từ (1) và (5) => AIDH là hbh (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh) => ID=AH (cạnh đối hbh)