Question

[Trần Hạ Vi]

Cho tam giác ABC vuông ở A , đường cao AH . HE vuông góc AB tại E . HF vuông góc AC tại F . Lấy O là trung điểm BC . AO cắt EF tại K . CMR : 

\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\)

Answer 1

[Phủ Đổng Thiên Vương]

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với EF tại M, cắt BC tại N.Gọi I là giao của AH và EF.

CMR: góc IAE = góc IEA.

Có tam giác MAE vuông tại M => góc MAE + góc MEA= 90 độ   Hay góc NAB + góc IEA = 90 độ

Có tam giác ABH vuông tại H => góc ABH + góc HAE= 90 độ   Hay góc NBA + góc IAE = 90 độ

                                                                                                      => góc NAB= góc NBA (phụ với hai góc bằng nhau)

                                                                                                      => tam giác NAB cân tại N

                                                                                                      => NA=NB

CM: NA=NC

=> NB=NC

=> N là trung điểm của BC

=> N trùng với I, M trùng với K.

mà AM vuông góc với EF

=> AK vuông góc với EF

Xét tam giác AEF vuông tại A có AK là đường cao

=> 1/AK² = 1/AE² + 1/AF²

Cm AE=HF, EH=AF

=> đpcm