Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho em xin lỗi em đánh thiếu. đường tròn bàng tiếp trong góc C tiếp xúc với BC tại M
a, Có : ^BCK = ^BAK ( chắn cung BK )
^BAK = ^BCH (Phụ ^ABC)
=> ^HCA1 = ^A1CK
=> CA1 là phân giác ^HCK
Tam giác HCK có CA1 vừa là đường cao vừa là phân giác
=> \(\Delta\)HCK cân tại C
=> CA1 là trung tuyến
=> A1 là trung điểm HK
b,\(\frac{HA}{AA_1}+\frac{HB}{BB_1}+\frac{HC}{CC_1}=1-\frac{HA_1}{AA_1}+1-\frac{HB_1}{BB_1}+1-\frac{HC_1}{CC_1}\)
\(=3-\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}-\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}-\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
\(=3-1\)
\(=2\)
c,D \(OM\perp BC\)tại M nên M là trung điểm BC
Xét \(\Delta\)BB1C vuông tại B1 có B1M là trung tuyến
=> B1M = MB = MC
=> ^MBB1 = ^MB1B
và ^MB1C = ^MCB1
Mà ^B1AE = ^B1BC (Chắn cung EC)
^MB1C = ^AB1N (đối đỉnh)
^BB1M + ^CB1M = 90o
=> ^NAB1 + ^NB1A = 90o
=> \(B_1N\perp AE\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(AB_1^2=AN.AE\)
\(EB_1^2=EN.EA\)
\(\Rightarrow\frac{AB_1^2}{EB_1^2}=\frac{AN.AE}{EN.EA}=\frac{AN}{EN}\)
Đặt AA1 = a , BB1 = b , CC1 = c , HA1 = x , HB1 = y , HC1 = z (với a,b,c,x,y,z > 0)
a) Đầu tiên , ta cần chứng minh : \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) .
Thật vậy : \(\frac{x}{a}=\frac{x.BC}{a.BC}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\); \(\frac{y}{b}=\frac{y.AC}{b.AC}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\); \(\frac{z}{c}=\frac{z.AB}{c.AB}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Ta có : \(\frac{AA_1}{HA_1}+\frac{BB_1}{HB_1}+\frac{CC_1}{HC_1}=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right).1=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right).\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)\)
\(\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)(áp dụng bđt Bunhiacopxki)
Vậy ta có đpcm
b) Ta có : \(\frac{HA_1}{HA}+\frac{HB_1}{HB}+\frac{HC_1}{HC}=\frac{x}{a-x}+\frac{y}{b-y}+\frac{z}{c-z}=\frac{1}{\frac{a}{x}-1}+\frac{1}{\frac{b}{y}-1}+\frac{1}{\frac{c}{z}-1}\)
Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{i}+\frac{n^2}{j}+\frac{p^2}{k}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{i+j+k}\)(bạn tự chứng minh)
Ta có : \(\frac{1^2}{\frac{a}{x}-1}+\frac{1^2}{\frac{b}{y}-1}+\frac{1^2}{\frac{c}{z}-1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)-3}\ge\frac{9}{9-3}=\frac{3}{2}\)
(Từ câu a. ta có \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge9\))
Vậy ta có đpcm
Gọi O là giao điểm của AA1 và CC1. Ta chứng minh \(\widehat{AOB}+\widehat{AOB_1}=180^o\).
Ta có: \(\Delta C_1BC=\Delta ABA_1\) vì \(C_1B=AB\), BC=BA1, góc C1BC = góc ABA1 (=góc ABC+60độ).
Suy ra \(\widehat{BC_1C}=\widehat{BAA_1}\) suy tiếp \(C_1BOA\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.
\(\Rightarrow\widehat{AC_1B}+\widehat{AOB}=180^o\) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=120^o\) và \(\widehat{C_1OB}=\widehat{C_1OA}=60^o\) (cùng chắn hai cung có độ dài bằng nhau).
Tương tự ta có các góc AOB1, B1OC, COA1, A1OB đều bằng 60 độ.
Suy ra \(\widehat{AOB}+\widehat{AOB_1}=180^o\)
Vậy BOB1 thẳng hàng