Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì ∆ABC đều
=> A = B = C
Vì OD // BC ( gt)
=> ODEB là hình thang
Vì OE//AC(gt)
=> C = DEB ( đồng vị)
Mà B = C
=> B = DEB
=> DOEB là hình thang cân
Vì OE // AC
=> EOFC là hình thang
Vì OF//AB
=> A = BFC ( đồng vị)
Mà A = C (cmt)
=> C = BFC
=> EOFC là hình thang cân
Vì OF // AB
=> FODA là hình thang
Mà OD //BC
=> ADF = B
Mà A = B
=> A = ADF
=> FODA là hình thang cân
Vì DOEB là hình thang cân
Mà B = OEB = 60°
=> BDO = DOE = 120°
Chứng minh tương tự ta có
DOE = DOF = FOD = 120°
Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhai
=> OA = DF
=> OB = DE
=> OC = EF
Vì 3 đoạn thẳng OA ; OB ; OC lần lượt là bằng 3 cạnh của ∆DEF
=> 3 đoạn thẳng OA ; OB ; OC thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
Ta có: \(\widehat{BEO}=\widehat{C}\)
mà \(\widehat{C}=\widehat{B}\)
nên \(\widehat{BEO}=\widehat{B}\)
Xét tứ giác BDOE có OD//BE
nên BDOE là hình thang
mà \(\widehat{BEO}=\widehat{B}\)
nên BDOE là hình thang cân
Bài này rất dễ nên mình sẽ giúp bạn
OD song song với BE(gt) nên DOEB là hình thang (1)
OE song song với AC(gt) nên góc OEB = góc C (đồng vị)
Mặt khác, tam giác ABC cân tại A (gt)
Suy ra: góc B = góc C (tính chất tam giác cân)
Do đó: góc B = góc OEB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ODEB là hình thang cân(vì có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau)
Chúc bạn học tốt.
A B C O D E F
a
Ta có:
\(OA=AD-OD=\frac{2S_{ABC}}{BC}-\frac{2S_{BOC}}{BC}=\frac{2\left(S_{ABC}-S_{BOC}\right)}{BC}\)
\(OD=2S_{BOC}\Rightarrow\frac{OA}{OD}=\frac{S_{ABC}-S_{BOC}}{S_{BOC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}-1\Rightarrow\frac{OA}{OD}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)
Tương tự
\(\frac{OB}{OE}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{COA}};\frac{OC}{OD}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}+3=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT s-vác ta có:
\(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}+3\ge S_{ABC}\cdot\frac{9}{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}}=\frac{9S_{ABC}}{S_{ABC}}=9\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu "=" xảy ra tại \(S_{OAB}=S_{OBC}=S_{COA}\Leftrightarrow O\) là trọng tâm của tam giác.
b
Em nghĩ đề là \(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\ge8\)
Nếu vậy thì e lm như sau:
Ta có:\(\frac{OA}{OD}=\frac{S_{ABC}-S_{BOC}}{S_{BOC}}=\frac{S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{BOC}}\)
Tương tự ta có:\(\frac{OB}{OE}=\frac{S_{BOA}+S_{BOC}}{S_{COA}};\frac{OC}{OF}=\frac{S_{COA}+S_{COB}}{S_{BOA}}\)
Đặt \(\left(S_{COA};S_{BOA};S_{BOC}\right)\rightarrow\left(S_1;S_2;S_3\right)\)
Ta có:
\(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}=\frac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1\cdot S_2\cdot S_3}\)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(S_1+S_2\ge2\sqrt{S_1\cdot S_2};S_2+S_3\ge2\sqrt{S_2\cdot S_3};S_3+S_1\ge2\sqrt{S_3\cdot S_1}\)
\(\Rightarrow\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\ge\frac{8\cdot S_1\cdot S_2\cdot S_3}{S_1\cdot S_2\cdot S_3}=8\)
Dấu "=" xảy ra tại \(S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC.
Câu a. Dòng đầu tiên là nhầm rồi Huy. AD đâu phải đường cao đâu thế tại sao: \(AD=\frac{2S_{\Delta ABC}}{BC}\)???
Bài này có thể giải:
a.
Có: \(\frac{OA}{OD}=\frac{AD-OD}{OD}=\frac{AD}{OD}-1=\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta OBC}}-1\)
Tương tự: \(\frac{OB}{OE}=\frac{S_{BAC}}{S_{OAC}}-1\); \(\frac{OC}{OF}=\frac{S_{CAB}}{S_{OAB}}-1\)
=> \(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}=\frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{OAC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{OAB}}-3\)
\(=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{OBC}}+\frac{1}{S_{OAC}}+\frac{1}{S_{OAB}}\right)-3\ge S_{ABC}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{S_{OBC}+S_{OAC}+S_{OAB}}-3=\frac{S_{ABC}.9}{S_{ABC}}-3=6\)
"=" xảy ra <=> O là trọng tâm
b. Làm đúng rồi.
Sorry anh nha Quang Minh Bùi! Em nhầm xíu!
Sử dụng định lý Thales: Vì 𝑂 𝐷 ∥ 𝐵 𝐶 OD∥BC, 𝑂 𝐸 ∥ 𝐶 𝐴 OE∥CA, 𝑂 𝐹 ∥ 𝐴 𝐵 OF∥AB, theo định lý Thales, các đoạn thẳng chia các cạnh tam giác theo tỉ lệ: 𝑂 𝐷 𝐵 𝐶 = 𝑆 △ 𝑂 𝐶 𝐴 𝑆 △ 𝐴 𝐵 𝐶 BC OD = S △ABC S △OCA , 𝑂 𝐸 𝐶 𝐴 = 𝑆 △ 𝑂 𝐴 𝐵 𝑆 △ 𝐴 𝐵 𝐶 CA OE = S △ABC S △OAB , 𝑂 𝐹 𝐴 𝐵 = 𝑆 △ 𝑂 𝐵 𝐶 𝑆 △ 𝐴 𝐵 𝐶 AB OF = S △ABC S △OBC . Tổng diện tích tam giác nhỏ: Tổng diện tích các tam giác 𝑂 𝐶 𝐴 OCA, 𝑂 𝐴 𝐵 OAB, 𝑂 𝐵 𝐶 OBC bằng diện tích tam giác lớn 𝐴 𝐵 𝐶 ABC: 𝑆 △ 𝑂 𝐶 𝐴 + 𝑆 △ 𝑂 𝐴 𝐵 + 𝑆 △ 𝑂 𝐵 𝐶 = 𝑆 △ 𝐴 𝐵 𝐶 . S △OCA +S △OAB +S △OBC =S △ABC . Chia tỷ lệ diện tích: Chia cả hai vế của phương trình trên cho 𝑆 △ 𝐴 𝐵 𝐶 S △ABC : 𝑆 △ 𝑂 𝐶 𝐴 𝑆 △ 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑆 △ 𝑂 𝐴 𝐵 𝑆 △ 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑆 △ 𝑂 𝐵 𝐶 𝑆 △ 𝐴 𝐵 𝐶 = 1. S △ABC S △OCA + S △ABC S △OAB + S △ABC S △OBC =1. Kết luận: Theo các tỷ lệ từ định lý Thales, ta có: 𝑂 𝐷 𝐵 𝐶 + 𝑂 𝐸 𝐶 𝐴 + 𝑂 𝐹 𝐴 𝐵 = 1. BC OD + CA OE + AB OF =1.