Question

[Big City Boy]

Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC và các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm đối xứng với H qua M, O là trung điểm của AN. CMR:

1) ĐIểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

2) (AB+CF)^2<(AC+BE)^2.

Answer 1

[Suzanna Dezaki]

1) Ta có: BH vuông góc với AC

               CK vuông góc với AC

      => BH//CK

Chứng minh tương tự ta có: CH//Bk

Xét tứ giác BHCK có:    BH//CK

                                     CH//BK

=> Tứ giác BHCK là hbh

Có M là trung điểm của BC=> M là trung điểm của HK=>M,H,K thẳng hàng

2.gọi HI cắt BC tại J

Xét tam giác HIK có:  J là trung điểm của HI

                                   M là trung điểm của HK

=> JM là đường trung bình trong tam giác HIK

=> IK//MJ hay IK//BC

Xét tam giác BHJ và tam giác BIJ có;

                HJ=JI

       góc BJH=góc BJI=90

              BJ chung

=> Tam giác BHJ = tam giác BIJ

=> Góc HBJ= góc IBJ

Mà góc HBJ= góc BCK( do BH//CK)

Xét tứ  giác BIKC có:

           KI//BC

góc IBC= góc KCB

=>Tứ giác BIKC là hình thang cân

3.Xét tứ giác GHCK có:     GK//HC  (doBK//HC)

=> Tứ giác GHCK là hình thang

Để GHCK là hình thang cân<=>góc GHC= góc KCH(1)

mà GHC+HCB=90

      KCH+HCA=90

=> (1)<=> góc HCB=góc HCA=> CH là phân giác của góc ACB

Xét tam giác ABC có : CH là phân giác của góc ACB

                                   CH là đường cao trong tam giác ABC

=> Tam giác ABC cân tại C

Vậy tứ giác GHCK là hình thang cân<=> Tam giác ABC cân tại C