Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác BMNC có
\(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^0\)
Do đó: BMNC là tứ giác nội tiếp
Lời giải:
a. Ta có:
$\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn - cung BC)
$\Rightarrow BN\perp AC, CM\perp AB$
Tam giác $ABC$ có 2 đường cao $BN, CM$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
b. Gọi $D$ là giao của $AH$ và $BC$. Do $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $AH\perp BC$ tại $D$.
Tam giác $BMC$ vuông tại $M$
$\Rightarrow$ trung tuyến $MO= \frac{BC}{2}=BO$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)
$\Rightarrow BOM$ là tam giác cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{OBM}=90^0-\widehat{BCM}$
$=90^0-\widehat{DCH}=\widehat{MHA}=\widehat{MHE}(1)$
$CM\perp AB$ nên $AMH$ là tam giác vuông tại $M$
$\Rightarrow ME=\frac{AH}{2}=EH$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền)
$\Rightarrow MEH$ cân tại $E$
$\Rightarrow \widehat{MHE}=\widehat{EMH}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{OMB}=\widehat{EMH}$
$\Rightarrow \widehat{OMB}+\widehat{OMC}=\widehat{EMH}+\widehat{OMC}$
$\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{EMO}$
$\Rightarrow \widehat{EMO}=90^0$
$\Rightarrow EM\perp MO$ nên $EM$ là tiếp tuyến $(O)$
c.
Ta có:
$EM=\frac{AH}{2}=EN$
$OM=ON$
$\Rightarrow EO$ là trung trực của $MN$
Gọi $T$ là giao điểm $EO, MN$ thì $EO\perp MN$ tại $T$ và $T$ là trung điểm $MN$.
Xét tam giác $EMO$ vuông tại $M$ có $MT\perp EO$ thì:
$ME.MO = MT.EO = \frac{MN}{2}.EO$
$\Rightarrow 2ME.MO = MN.EO$
a: Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
=>CM\(\perp\)MB tại M
=>CM\(\perp\)AB tại M
Xét (O) có
ΔBNC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó ΔBNC vuông tại N
=>BN\(\perp\)NC tại N
=>BN\(\perp\)AC tại N
Xét ΔABC có
BN,CM là các đường cao
BN cắt CM tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
b: Gọi K là giao điểm của AH và BC
Xét ΔABC có
H là trực tâm của ΔABC
K là giao điểm của AH và BC
Do đó: AH\(\perp\)BC tại K
Ta có: ΔAMH vuông tại M
mà ME là đường trung tuyến
nên EM=EH
=>ΔEMH cân tại E
=>\(\widehat{EMH}=\widehat{EHM}\)
mà \(\widehat{EHM}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{KHC}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{MCB}\right)\)
nên \(\widehat{EMH}=\widehat{ABC}\)
Ta có: OM=OC
=>ΔOMC cân tại O
=>\(\widehat{OMC}=\widehat{OCM}\)
Ta có: \(\widehat{EMO}=\widehat{EMH}+\widehat{OMC}\)
\(=\widehat{ABC}+\widehat{OCM}\)
\(=90^0\)
=>ME là tiếp tuyến của (O)
c: Gọi I là giao điểm của EO và MN
Ta có: ΔHAN vuông tại N
mà NE là đường trung tuyến
nên NE=AE=ME
Ta có: NE=ME
=>E nằm trên trung trực của NM(1)
Ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của MN
=>OE\(\perp\)MN tại trung điểm I của MN
Xét ΔMEO vuông tại M có MI là đường cao
nên \(MI\cdot EO=ME\cdot MO\)
=>\(2\cdot MI\cdot EO=2\cdot ME\cdot MO\)
=>\(MN\cdot OE=2\cdot ME\cdot MO\)
Hình tự vẽ nha!
a, Kẻ AN là đường kính của đường tròn (O)
Xét đường tròn (O) có:
Q là trung điểm của BC (gt)
BC là dây không đi qua tâm
\(\Rightarrow\) OQ \(\perp\) BC (Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Lại có: AD \(\perp\) BC (AD là đường cao theo gt)
\(\Rightarrow\) OQ // AD (Quan hệ từ vuông góc đến //)
Mà H \(\in\) AD (H là trực tâm của tam giác ABC do AD, BE, CF là 3 đường cao)
\(\Rightarrow\) OQ // AH (1)
Xét tam giác ANH có:
OQ // AH (cm trên)
O là trung điểm của AN (O là tâm của đường tròn đường kính AN)
\(\Rightarrow\) OQ là đường trung bình của tam giác ANH (định lý đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow\) OQ = \(\dfrac{1}{2}\)AH (t/c đường trung bình của tam giác)
hay AH = 2OQ (đpcm)
b, Ta có: sinB = \(\dfrac{AD}{AB}\) ; sinC = \(\dfrac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow\) sinB + sinC = \(\dfrac{AD}{AB}+\dfrac{AD}{AC}\) = \(AD.\left(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\right)\)
= \(AD.\left(\dfrac{AB+AC}{AB.AC}\right)\) = \(AD.\left(\dfrac{2BC}{AB.AC}\right)\) = \(\dfrac{2BC.AD.sinA}{AB.AC.sinA}\)
= \(\dfrac{4S_{ABC}.sinA}{2S_{ABC}}\) = 2SinA (đpcm)
Phần c đang nghĩ tiếp ;-;
Chúc bn học tốt!
a: Xét \(\left(O\right)\) có
\(\widehat{CNB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
nên \(\widehat{CNB}=90^0\)
hay CM\(\perp\)AB
Xét \(\left(O\right)\) có
\(\widehat{BNC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
nên \(\widehat{BNC}=90^0\)
hay BN\(\perp\)AC
b: Xét ΔABC có
BN là đường cao ứng với cạnh AC
CM là đường cao ứng với cạnh AB
BN cắt CM tại H
Do đó: AH\(\perp\)BC