Question

[Hoàng Thiện Nhân]

Cho tam giác ABC. Gọi M N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Phân giác trong và ngoài của góc B và tam giác ABC cắt đường thẳng MN lần lượt tại D và E. Các tia AD, AE cắt đường thẳng BC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng:

a) BD \(\perp AP;BE\perp AQ\)

b) B là trung điểm của PQ
c) AB=DE

Answer 1

[Lê Trần Ngọc Hằng]

tự kẻ hình:3333

a) vì BE là phân giác của QBA=> B1=B2=QBA/2

vì BD là phân giác của ABC=> B3=B4=ABC/2

ta có EBD= B2+B3=QBA/2 +ABC/2= QBA+ABC/2= 180 độ/2=90 độ ( QBA kề bù với ABC)

trong tứ giác AEBD có EBD= 90 độ=> AEBD là HCN=> EBD=BDA=DAE=AEB= 90 độ

=> BEQ= 90 độ ( kề bù với AEB), BDP= 90 độ( kề bù với BDA)

=> BE vuông góc với AQ, BD vuông góc với AP

b)vì AEBD là hcn => AE=BD, 

xét tam giác BEQ và tam giác BEA có

B1=B2(gt)

BE chung

BEQ=BEA(=90 độ)

=> tam giác BEQ= tam gáic BEA(gcg)

=> AE=EQ ( hai cạnh tương ứng)

ta có DBP+EBQ= 90 độ( EBD= 90 độ)

VÌ EBQ vuông tại E=> EQB+EBQ= 90 độ

=> DBP=EQB (=90 độ-EBQ)

xét tam giác BEQ và tam giác PDB có

EQ=BD(=AE)

BEQ=PDB(=90 độ)

DBP=EQB(cmt)

=> tam giác BEQ= tam gáic PDB(gcg)

=> QB=PB ( hai cạnh tương ứng)

=> B là trung điểm của PQ

c) xét tam giác AED và tam giác DBA có 

AE=BD(cmt)

DAE=BDA(=90 độ)

AD chung

=> tam giác AED= tam giác DBA (cgc)

=> AB=DE( hai cạnh tương ứng)