Question

[zZz Cool Kid_new zZz]

Cho tam giác ABC có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.Gọi K là giao điểm AH và EF,N là trung điểm AH.Đường thẳng qua A song song với BN cắt BC tại M.Gọi P là giao điểm MK với AB

Chứng minh:

\(\frac{HK}{HD}=\frac{NH}{ND}\)

\(PD,MH,KB\) đồng quy

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

a) 

Ta có: \(\widehat{NKE}=\widehat{KHE}+\widehat{E_1}\)(góc ngoài \(\Delta\)KHE)

\(\Delta\)AHE vuông tại E có: N là trung điểm AH => \(NE=NH=\frac{1}{2}AH\)

Tam giác NEH cân tại N => \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}=\widehat{KHE}\)

Mà \(\widehat{NKB}=\widehat{KHE}+\widehat{E_1}\)

\(\widehat{NED}=\widehat{NEH}+\widehat{E_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{NEK}=\widehat{NED}\)

\(\Rightarrow\Delta\)NEK đồng dạng \(\Delta NED\)

=> \(\frac{NE}{ND}=\frac{KE}{ED}\)

Do E là phân giác \(\widehat{DEF}\)=> \(\frac{HK}{HD}=\frac{NH}{ND}\)(đpcm)

b) Định lý Ceva PD,MH,KB đồng quy khi \(\frac{MB}{BD}\cdot\frac{DH}{HK}\cdot\frac{KP}{PM}=1\)

By: Đỗ Quang Thiều (refundzed)

Answer 2

[Lê Nhật Khôi]

Câu b) chi tiết hơn và sử dụng kiến thức lớp 9

Từ cái tỉ số ở câu đầu

Ta CM đc: \(MK//BH\)

\(\Leftrightarrow\widehat{FPK}=\widehat{MPB}=\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=\widehat{FDH}\)

Nên PFKD là tứ giác nội tiếp

Suy ra: \(\widehat{PDK}=\widehat{AFE}=\widehat{AHE}=\widehat{BHD}=\widehat{PKD}\)

Cho nên tam giác PKD cân tại P

=> PK=PD

Từ đây hiển nhiên PM=PK hay \(\frac{PK}{PM}=1\)

Xét tích: \(\frac{MB}{BD}\cdot\frac{DH}{HK}\cdot\frac{KP}{PM}=\frac{HK}{DH}\cdot\frac{DH}{HK}\cdot\frac{KP}{PM}=1\)

Theo Ceva đảo thì đồng quy