Question

[MixiGaming]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Chứng
minh rằng:
1) AP.AB = AH.AM = AN.AC 2) BP.BA = BH.BN = BM.BC
3) CN.CA = CH.CP = CM.CB 4) AP.AB + CM.CB = AC^2

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: XétΔAPH vuông tại P và ΔAMB vuông tại M có

\(\widehat{PAH}\) chung

Do đó: ΔAPH~ΔAMB

=>\(\dfrac{AP}{AM}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(AP\cdot AB=AH\cdot MA\left(1\right)\)

Xét ΔANH vuông tại N và ΔAMC vuông tại M có

\(\widehat{NAH}\) chung

Do đó: ΔANH~ΔAMC

=>\(\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AH}{AC}\)

=>\(AN\cdot AC=AH\cdot AM\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AP\cdot AB=AH\cdot AM=AN\cdot AC\)

2: Xét ΔBPH vuông tại P và ΔBNA vuông tại N có

\(\widehat{PBH}\) chung

Do đó; ΔBPH~ΔBNA

=>\(\dfrac{BP}{BN}=\dfrac{BH}{BA}\)

=>\(BP\cdot BA=BH\cdot BN\left(3\right)\)

Xét ΔBMH vuông tại M và ΔBNC vuông tại N có

\(\widehat{MBH}\) chung

Do đó: ΔBMH~ΔBNC

=>\(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{BH}{BC}\)

=>\(BM\cdot BC=BH\cdot BN\)(4)

Từ (3),(4) suy ra \(BP\cdot BA=BH\cdot BN=BM\cdot BC\)

3: Xét ΔCNH vuông tại N và ΔCPA vuông tại P có

\(\widehat{NCH}\) chung

Do đó: ΔCNH~ΔCPA

=>\(\dfrac{CN}{CP}=\dfrac{CH}{CA}\)

=>\(CN\cdot CA=CH\cdot CP\left(5\right)\)

Xét ΔCMH vuông tại M và ΔCPB vuông tại P có

\(\widehat{MCH}\) chung

Do đó: ΔCMH~ΔCPB

=>\(\dfrac{CM}{CP}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CM\cdot CB=CH\cdot CP\left(6\right)\)

Từ (5),(6) suy ra \(CN\cdot CA=CH\cdot CP=CM\cdot CB\)

4: \(AP\cdot AB+CM\cdot CB\)

\(=AN\cdot AC+CN\cdot CA=AC^2\)