Question

[hoàng nguyên linh]

Cho tam giác ABC có AB<AC.Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của cạnh BC tại I.Qua I kẻ các đường thẳng vuông góc với AB,AC lần lượt tại H và K.Chứng minh rằng:

a)AH=AK

b)BH=CK

c)\(AK=\frac{AC+AB}{2}\);\(CK=\frac{AC-AB}{2}\)

Answer 1

[Huỳnh Quang Sang]

a) Xét \(\Delta AHI\)và \(\Delta AKI\)có :

   AI cạnh chung

  \(\widehat{IHA}=\widehat{IKA}\)(AI là tia phân giác của A)

=> \(\Delta AHI=\Delta AKI\left(ch-gn\right)\)

=> AH = AK(2 cạnh tương ứng)

b)  Gọi M là trung điểm của BC

Xét \(\Delta BMI\)và \(\Delta CMI\)có :

BM = CM(gt)

\(\widehat{BMI}=\widehat{CMI}=90^0\)

MI cạnh chung

=> \(\Delta BMI=\Delta CMI\left(c-g-c\right)\)

=> IB = IC(2 cạnh tương ứng)

\(\Delta AHI=\Delta AKI\left(cmt\right)\)=> IH = IK(hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta IHB\)và \(\Delta IKC\)có :

+) IH = IK(chứng minh trên)

+) IB = IC(chứng minh trên)

=> IH + IB = IK + KC

=> BH = CK(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có : AC = AK + KC (1)

               AB = AH - BH (2)

Từ (1) và (2) suy ra : AC + AB = (AK + AH) + (KC - BH)

Do AH = AK,BH = CK => AC + AB = 2AK , suy ra :

AK = \(\frac{AC+AB}{2}\)

Tương tự ta được \(CK=\frac{AC-AB}{2}\)