Question

[đặng tấn sang]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R);(AB>AC).Gọi M là điểm chính giữa cung BC; OM cắt BC tại D; AM cắt BC tại K a)chứng minh AM là tia phân giác của BAC b)Tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt BC tại S.Chứng minh SA²=SB.SC c)chứng minh SA=SK và S;A;O;D cùng thuộc 1 đường tròn d)Trên đường tròn tâm O đặt E sao cho SB.SC=SE² chứng minh điểm E nằm trên đường tròn (SAOD)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: M là điểm chính giữa của cung BC

=>\(sđ\stackrel\frown{MB}=sđ\stackrel\frown{MC}\) và MB=MC

Xét (O) có

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(sđ\stackrel\frown{CM}=sđ\stackrel\frown{BM}\)

Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{BAM}\)

=>AM là phân giác của góc BAC

b: Xét (O) có

\(\widehat{SAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{SAC}=\widehat{ABC}=\widehat{SBA}\)

Xét ΔSAC và ΔSBA có

\(\widehat{SAC}=\widehat{SBA}\)

\(\widehat{ASC}\) chung

Do đó: ΔSAC đồng dạng với ΔSBA

=>\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{SC}{SA}\)

=>\(SA^2=SB\cdot SC\)

c: Xét (O) có

góc CKA là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung AC và BM

=>\(\widehat{CKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{BM}\right)\)

=>\(\widehat{SKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)

mà \(\widehat{SAK}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến SA và dây cung AM)

nên \(\widehat{SAK}=\widehat{SKA}\)

=>SA=SK

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM\(\perp\)BC tại D

Xét tứ giác SAOD có

\(\widehat{SAO}+\widehat{SDO}=90^0+90^0=180^0\)

nên SAOD là tứ giác nội tiếp

=>S,A,D,O cùng thuộc một đường tròn