Question

[Huỳnh Tấn Lộc]

Cho tam giác ABC: Chứng minh: Cos² A+ Cos² B+ Cos² C <1

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Trước hết ta chứng minh một kết quả sau:

Tam giác $ABC$ có $AB=c; BC=a; CA=b$ thì:

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

Chứng minh kết quả này bạn tham khảo ở link sau:

Câu hỏi của Nguyễn Thị Mỹ Lệ - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

------------------------------

Áp dụng kết quả trên vào bài toán:

\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\Rightarrow \cos ^2A=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2\)

Tương tự với \(\cos ^2B; \cos ^2C\) suy ra:

\(M=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2+\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\right)^2+\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2\)

Đặt \((b^2+c^2-a^2; c^2+a^2-b^2; a^2+b^2-c^2)=(x,y,z)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=\frac{y+z}{2}\\ b^2=\frac{x+z}{2}\\ c^2=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(M=\frac{x^2}{(x+z)(x+y)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\)

\(M=\frac{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\)

\(M=\frac{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+2xyz}< 1\)

Ta có đpcm.

Answer 2

[Hung nguyen]

Dài thế