Question

[Luân Nguyễn Khoa]

Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AM gọi i là trung điểm ac, k là điểm đối xứng m qua i A. Chứng minh rằng tứ giác AMCK là hình chữ nhật B. Biết Ab=cm,BC=6cm tính diện tích tứ giác AKCM C. Từ i kẻ iH vuông góc AM Thuộc AM, chứng minh 3 điểm B,H,K thẳng hàng

Answer 1

[Ngô Ngọc Tâm Anh]

a)Xét tứ giác AMCK ta có: IM=IK( vì M đối xứng với K qua I); IA=IC(vì I là trung điểm của AC).

Do đó: tứ giác AMCK là hình bình hành.

Mà ∠AMC=90 độ(vì AMlà đường trung tuyến của ΔABC cân tại A  nên đồng thời là đường cao, hay AM⊥BC). Suy ra: AMCK là h.c.n(đpcm)

b) Vì AMCK là h.c.n.(chứng minh trên) nên AC=MK.

Mà AB=AC(tính chất tam giác cân). Do đó: AB=MK(=AC) (đpcm).

c) Để AMCK là hình vuông thì AM=AK⇒ΔAMK cân tại A. Khi đó đường trung tuyến AI sẽ đồng thời là đường cao, hay AI⊥MK.

Mặt khác, ta có: AB=MK(chứng minh trên); AK=BM(=MC). Do đó: AKMB là hình bình hành.

Suy ra:AB║MK. Mà MK⊥AI.nên AB⊥AI⇒AB⊥AC. Ta lại có: tam giác ABC cân tại A.

vậy nên: để AMCK là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại A.