Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét ΔABN và ΔACM có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAN}\) chung
AN=AM(gt)
Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)
Suy ra: BN=CM(hai cạnh tương ứng)
b) Xét ΔAHB và ΔAHC có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH chung
HB=HC(H là trung điểm của BC)
Do đó: ΔAHB=ΔAHC(c-c-c)
Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
hay AH⊥BC(đpcm)
c) Ta có: AH⊥BC(cmt)
mà H là trung điểm của BC(gt)
nên AH là đường trung trực của BC
⇔EH là đường trung trực của BC
⇔EB=EC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)
Xét ΔEBC có EB=EC(cmt)
nên ΔEBC cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)
A B C M N H P Q
Xét tam giác ABN và tam giác ACM có
\(\hept{\begin{cases}AB=AC\\AM=AN\left(\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}AC\right)\\\widehat{A}\text{ chung}\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABN=\Delta ACM\left(\text{c.g.c}\right)\)
=> BN = CM (cạnh tương ứng)
=> \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)(cạnh tương ứng)
b) Vì \(\hept{\begin{cases}\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(\Delta ABC\text{ cân}\right)\\\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\left(cmt\right)\end{cases}}\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{ABN}=\widehat{ACB}-\widehat{ACM}\)
=> \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\text{ hay }\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\Rightarrow\Delta HBC\text{ cân tại H }\left(ĐPCM\right)\)
=> HB = HC
c) Qua H kẻ đường thẳng PQ // BC (Q \(\in AC;P\in AB\))
Vì PQ//BC
=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{APQ}=\widehat{ABC}\left(\text{đồng vị}\right)\\\widehat{AQP}=\widehat{ACB}\left(\text{ đồng vị}\right)\end{cases}}\text{mà }\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{APQ}=\widehat{AQP}\)
=> Tam giác APQ cân tại A
=> AP = AQ
=> PB = QC
Xét tam giác PBH và tam giác QCH có :
\(\hept{\begin{cases}PB=QC\left(cmt\right)\\HB=HC\left(\text{câu b}\right)\\\widehat{PBH}=\widehat{QCH}\left(\Leftrightarrow\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\left(\text{câu a}\right)\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta PBH}=\Delta QCH\left(c.g.c\right)\)
=> PH = QH (cạnh tương ứng)
Xét tam giác APH và tam giác AQH có :
\(\hept{\begin{cases}AP=AQ\\PH=QH\\AH\text{ chung}\end{cases}}\Rightarrow\Delta APH=\Delta AQH\left(c.c.c\right)\)
=> \(\widehat{AHP}=\widehat{AHQ}\left(\text{cạnh tương ứng}\right)\text{ mà }\widehat{AHP}+\widehat{AHQ}=180^{\text{o}}\Rightarrow\widehat{AHP}=\widehat{AHQ}=90^{\text{o}}\Rightarrow AH\perp PQ\)
Lại có PQ//BC
=> AH \(\perp\)BC (đpcm)
a: Xét ΔABN vuông tại N và ΔACM vuông tại M có
AB=AC
\(\widehat{BAN}\) chung
Do đó: ΔABN=ΔACM
Suy ra: BN=CM
b: Xét ΔMBC vuông tại M và ΔNCB vuông tại N có
BC chung
MC=BN
Do đó: ΔMBC=ΔNCB
Suy ra: \(\widehat{HCB}=\widehat{HBC}\)
hay ΔHBC cân tại H
c: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC
nên MN//BC
a, xét ΔAMC và ΔANB có : ^A chung
AB = AC do ΔABC cân tại A (gt)
^ANB = ^AMC = 90
=> ΔAMC = ΔANB (ch-gn)
=> AM = AN (định nghĩa)
b, xét ΔBMC và ΔCNB có : BC chung
^ABC = ^ACB do ΔABC cân tại A (gt)
^BMC = ^CNB = 90
=> ΔBMC = ΔCAB (ch-gn)
=> ^HBC = ^HCB (định nghĩa)
=> ΔHBC cân tại H (định nghĩa)
=> HB = HC
=> H thuộc đường trung trực của BC (định lí)
AB = AC (Câu a) => A thuộc đường trung trực của BC (Định lí)
=> AH là trung trực của CB (đl)
Bài làm
a) Xét tam giác AMC và tam giác ANB có:
^AMC = ^ANB = 90°
Cạnh huyền: AB = AC ( tam giác ABC cân )
Góc nhọn: ^A chung.
=> ∆AMC = ∆ANB ( cạnh huyền-góc nhọn )
=> AM = AN ( hai cạnh tương ứng )
b) Xét tam giác ABC có:
CM | AB ( gt )
BN | AC
Mà CM cắt BN tại H
=> H là trực tâm.
=> AH | BC
Mà tam giác ABC cân tại A
=> AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
=> AH là trung trực của BC . ( Đpcm )
c) Gọi giao điểm của AH và BC là I
Nối NI, và NI // MB ( bạn có thể tìm cách chứng minh nó song song ), nối MN
Vì AM = AN => Tam giác AMN cân tại A
=> ^AMN = ( 180° - ^A )/2
Tam giác ABC cân tại A => ^ABC = ( 180° - ^A )/2
=> ^AMN = ^ ABC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.
=> MN // BC.
=> ^MNB = ^NBI
Xét tam giác BMN và tam giác NIB có:
^MNB = ^NBI ( so le trong)
BN chung.
^MBN = ^INB ( so le trong )
=> ∆BMN = ∆NIB ( g.c.g )
=> MN = IB
Mà BI = IC ( do AI trung trực )
=> IC = MN
=> ( BI + IC )/2 = MN
=> 2MN = BC ( đpcm )