Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL

Question

Cho tam giác ABC (AB < AC). M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Kẻ PH vuông góc với AB, kẻ PK vuông góc với AC.

1, Chứng minh : PB = PC và BH = CK.

2, Chứng minh ba điểm H,M,K thẳng hàng.

3, Gọi O là giao điểm của PA và HK. Chứng minh : $OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=PA^2$

Nguyễn Hoàng Bảo Nhi · Accepted Answer

A B C K M O E H PCâu trả lời: A B C K M O E H P

Nguyễn Hoàng Bảo Nhi · Answer

a ) a.Vì P∈Trung trực của BC$\Rightarrow PB=PC$Ta có : AP là phân giác $\widehat{BAC},PH\perp AB,PK\perp AC\Rightarrow PH=PK$Mà $\widehat{PHB}=\widehat{PKC}=90^0$$\Rightarrow\Delta PBH=\Delta PCK$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)$\Rightarrow BH=CK$b ) Ta có : $PH=PK,\widehat{PHA}=\widehat{PKA}=90^0$$\Rightarrow\Delta PHA=\Delta PKA$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)$\Rightarrow AH=AK$$\Rightarrow\Delta AHK$ cân tại A Mà AP là phân giác ^A $\Rightarrow AP\perp HK$Qua B kẻ BE // AK , $E\in HK$$\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{AKH}$Do $\Delta AHK$ cân tại A $\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{AHK}$$\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{BHE}\Rightarrow BH=BE$Mà $BH=CK\Rightarrow BE=CK$Lại có BE // CK => $\widehat{EBM}=\widehat{MCK}$Do M là trung điểm BC $\Rightarrow MB=MC\Rightarrow\Delta EBM=\Delta KCM\left(c.g.c\right)$$\Rightarrow\widehat{BME}=\widehat{KMC}$$\Rightarrow\widehat{EMK}=\widehat{BME}+\widehat{BMK}=\widehat{CMK}+\widehat{BMK}=\widehat{BMC}=180^0$$\Rightarrow E,M,K$ thẳng hàng $\Rightarrow H,M,K$ thẳng hàng vì E , H , K thẳng hàng c ) Do $PA\perp HK$ ( câu a ) $\Rightarrow AP\perp HK=O$Kết hợp AH = AK $\Rightarrow O$ là trung điểm HK$\Rightarrow OH=OK$$\Rightarrow OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2$                                                                 $=\left(OA^2+OH^2\right)+\left(OP^2+OH^2\right)$                                                                    $=AH^2+PH^2$                                                                    $=AP^2,\left(PH\perp AB\right)$Câu trả lời: a ) a.Vì P∈Trung trực của BC$\Rightarrow PB=PC$Ta có : AP là phân giác $\widehat{BAC},PH\perp AB,PK\perp AC\Rightarrow PH=PK$Mà $\widehat{PHB}=\widehat{PKC}=90^0$$\Rightarrow\Delta PBH=\Delta PCK$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)$\Rightarrow BH=CK$b ) Ta có : $PH=PK,\widehat{PHA}=\widehat{PKA}=90^0$$\Rightarrow\Delta PHA=\Delta PKA$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)$\Rightarrow AH=AK$$\Rightarrow\Delta AHK$ cân tại A Mà AP là phân giác ^A $\Rightarrow AP\perp HK$Qua B kẻ BE // AK , $E\in HK$$\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{AKH}$Do $\Delta AHK$ cân tại A $\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{AHK}$$\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{BHE}\Rightarrow BH=BE$Mà $BH=CK\Rightarrow BE=CK$Lại có BE // CK => $\widehat{EBM}=\widehat{MCK}$Do M là trung điểm BC $\Rightarrow MB=MC\Rightarrow\Delta EBM=\Delta KCM\left(c.g.c\right)$$\Rightarrow\widehat{BME}=\widehat{KMC}$$\Rightarrow\widehat{EMK}=\widehat{BME}+\widehat{BMK}=\widehat{CMK}+\widehat{BMK}=\widehat{BMC}=180^0$$\Rightarrow E,M,K$ thẳng hàng $\Rightarrow H,M,K$ thẳng hàng vì E , H , K thẳng hàng c ) Do $PA\perp HK$ ( câu a ) $\Rightarrow AP\perp HK=O$Kết hợp AH = AK $\Rightarrow O$ là trung điểm HK$\Rightarrow OH=OK$$\Rightarrow OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2$                                                                 $=\left(OA^2+OH^2\right)+\left(OP^2+OH^2\right)$                                                                    $=AH^2+PH^2$                                                                    $=AP^2,\left(PH\perp AB\right)$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP