Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) xét hiệu
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)
<=> \(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
=> b(a+b)+a(a+b)-4ab ≥ 0
<=> ab+b2+a2+ab-4ab ≥ 0
<=> a2 -2ab+b2 ≥ 0
<=> (a-b)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
2)Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
TT\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dùng BĐT phụ : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Ta có : \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ; \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\); \(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64a^2b^2c^2=\left(8abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(dpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy với a ; b ; c dương , ta có :
\(\dfrac{a}{2b+a}+\dfrac{b}{2c+b}+\dfrac{c}{2a+b}=\dfrac{a^2}{2ab+a^2}+\dfrac{b^2}{2bc+b^2}+\dfrac{c^2}{2ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy ...
Sửa đề : ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 8abc
Giải :
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương , ta có :
\(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{cases}}\)
Nhân vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vì a,b,c là các số thực dương
nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế với vế
=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\left|abc\right|=8abc\)
( do a,b,c là các số thực dương )
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
=> đpcm
Lời giải:
\((3a+2b)(3a+2c)=16bc\)
\(\Leftrightarrow 9a^2+6a(b+c)=12bc\)
Theo BĐT Cô-si \(4bc\leq (b+c)^2\Rightarrow 9a^2+6a(b+c)\leq 3(b+c)^2\)
\(\Rightarrow 3a^2+2a(b+c)\leq (b+c)^2\)
\(\Leftrightarrow (b+c)^2-3a^2-2a(b+c)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (b+c)^2-9a^2-2a(b+c)+6a^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (b+c-3a)(b+c+3a)-2a(b+c-3a)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (b+c-3a)(b+c+a)\geq 0\)
Vì $a+b+c>0$ nên \(b+c-3a\geq 0\Rightarrow b+c\geq 3a\) (đpcm)
b) Áp dụng BĐT Cô-si và kết quả phần a:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{a}=\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{9a}+\frac{8(b+c)}{9a}\)
\(\geq 2\sqrt{\frac{a}{b+c}.\frac{b+c}{9a}}+\frac{8(b+c)}{9a}=\frac{2}{3}+\frac{8(b+c)}{9a}\geq \frac{2}{3}+\frac{8.3a}{9a}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Ta có đpcm.
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(=\frac{a^2}{b}+b+\frac{b^2}{c}+c+\frac{c^2}{a}+a-a-b-c\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}+2\sqrt{\frac{b^2c}{c}}+2\sqrt{\frac{c^2a}{a}}-a-b-c\)
\(=2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engle ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\left(đpcm\right)\)
ta có a+bc=a(a+b+c)+ab=(a+b)(a+c)
tương tự b+ca=(b+c)(a+b)
c+ab=(a+c)(b+c)
ad bđt cô si cho 3 số dương ta có
a^3/(a+b)(a+c)+a+b/8+a+c/8 >=3a/4
tương tự bạn lm tiếp nhé
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 3 số dương a;b;c ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) )
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=c\) )
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=c\) )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)