Question

[super xity]

Cho S = 5+5 ^2 +5 ^3+..........+5 ^96

a Chứng minh S chia hết 126

b tìm chữ số tận cùng của S

Answer 1

[Tạ Đức Hoàng Anh]

a) Ta có: \(S=5+5^2+5^3+...+5^{96}\)

        \(\Leftrightarrow S=\left(5+5^4\right)+\left(5^2+5^5\right)+\left(5^3+5^6\right)+...+\left(5^{93}+5^{96}\right)\)

    Vì mỗi cặp của đa thức  \(S\)có hai hạng tử nên tổng số cặp là: \(\frac{96}{2}=48\)( cặp )

         \(\Rightarrow\)Đa thức  \(S\)không dư số nào

        \(\Leftrightarrow S=\left(5+5^4\right)+\left(5^2+5^5\right)+\left(5^3+5^6\right)+...+\left(5^{93}+5^{96}\right)\)

        \(\Leftrightarrow S=5.\left(5^0+5^3\right)+5^2\left(5^0+5^3\right)+5^3.\left(5^0+5^3\right)+...+5^{93}.\left(5^0+5^3\right)\)

        \(\Leftrightarrow S=5.126+5^2.126+5^3.126+...+5^{93}.126\)

        \(\Leftrightarrow S=\left(5+5^2+5^3+...+5^{93}\right).126⋮126\)

Vậy \(S⋮126\)