Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề: \(x_2^2-x_1^2=2\)
Ta có: \(\Delta=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+2\right)\)
\(=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)
\(=m^2-6m+9+8m-8\)
\(=m^2+2m+1\)
\(=\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-3\\x_1\cdot x_2=-2m+2\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4\cdot x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=m^2-6m+9+8m-8=m^2-2m+1\)
\(\Leftrightarrow x_1-x_2=m-1\)
Ta có: \(x_2^2-x_1^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)\left(m-3\right)=2\)
\(\Leftrightarrow m-3-m^2+3m-2=0\)
\(\Leftrightarrow-m^2+4m-5=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+5=0\)(Vô lý)
Vậy: Không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \(x_2^2-x_1^2=2\)
\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m=0\)
\(\text{Δ}=\left(-2m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)\)
\(=4m^2-8m+4+8m=4m^2+4>=4>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
a) \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4m+m^2\)
\(\Delta'=m^2+2m+1+m^2-4m=2m^2-2m+1\)
\(\Delta'=2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>0\)
=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Theo hệ thức viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=4m-m^2\end{cases}}\)
Theo bài ra, ta có: A = |x1 - x2|
A2 = (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2
A2 = [2(m + 1)]2 - 4(4m - m2)
A2 = 4m2 + 8m + 4 - 8m + 4m2 = 8m2 + 4 \(\ge\)4 với mọi m
Dấu "=" xảy ra <=> m = 0
Vậy MinA = 4 khi m = 0
a) Xét \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(4m-m^2\right)=2m^2-2m+1=m^2+\left(m-1\right)^2>0\)với mọi m
Vậy pt trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt trên . Theo hệ thức Viet , ta có :
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=4m-m^2\end{cases}}\)
Xét \(A^2=\left|x_1-x_2\right|^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-4\left(4m-m^2\right)\)
\(=8m^2-8m+4=2\left(4m^2-4m+1\right)+2=2\left(2m-1\right)^2+2\ge2\)
Dấu " = " xảy ra khi 2m - 1 = 0
Vậy \(A^2\ge2\Leftrightarrow A=\left|x_1-x_2\right|\ge\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(m=\frac{1}{2}\)
Do đó minA \(=\sqrt{2}\)khi \(m=\frac{1}{2}\)
1:Phương trình luôn có nghiệm với mọi m<>0
Sửa đề: Chứng minh
TH1: m=0
Phương trình sẽ trở thành \(0x^2-2\left(0+1\right)x+1-3\cdot0=0\)
=>1=0(vô lý)
TH2: m<>0
\(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot m\cdot\left(1-3m\right)\)
\(=4\left(m+1\right)^2-4m+12m^2\)
\(=4m^2+8m+4-4m+12m^2\)
\(=16m^2+4m+4\)
\(=16\left(m^2+\dfrac{1}{4}m+\dfrac{1}{4}\right)\)
\(=16\left(m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{15}{64}\right)\)
\(=16\left(m+\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{15}{4}>=\dfrac{15}{4}>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có nghiệm với mọi m<>0
2: Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left[-2\left(m+1\right)\right]}{m}=\dfrac{2m+2}{m}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1-3m}{m}\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\left(\dfrac{2m+2}{m}\right)^2-2\cdot\dfrac{1-3m}{m}\)
\(=\dfrac{4m^2+8m+4}{m^2}+\dfrac{6m-2}{m}\)
\(=\dfrac{4m^2+8m+4+6m^2-2m}{m^2}\)
\(=\dfrac{10m^2+6m+4}{m^2}\)
\(=10+\dfrac{6}{m}+\dfrac{4}{m^2}\)
\(=\left(\dfrac{2}{m}\right)^2+2\cdot\dfrac{2}{m}\cdot1,5+2,25+7,75\)
\(=\left(\dfrac{2}{m}+1,5\right)^2+7,75>=7,75\forall m\ne0\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\dfrac{2}{m}+1,5=0\)
=>\(\dfrac{2}{m}=-1,5\)
=>\(m=-\dfrac{2}{1,5}=-\dfrac{4}{3}\)
Với \(m=0\) pt có nghiệm
Với \(m\ne0\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m\left(1-3m\right)=4m^2+m+1=\left(m+\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{15}{16}>0;\forall m\)
Pt luôn có nghiệm với mọi m
b. Câu này chắc đề đúng là "với m khác 0"
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m}\\x_1x_2=\dfrac{1-3m}{m}\end{matrix}\right.\)
\(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{m^2}-\dfrac{2\left(1-3m\right)}{m}\)
\(=\dfrac{10m^2+6m+4}{m^2}=\dfrac{4}{m^2}+\dfrac{6}{m}+10\)
\(=4\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{31}{4}\ge\dfrac{31}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=-\dfrac{4}{3}\)
\(\Delta'=\left(-2\right)^2-3.\left(-8\right)=4+24=28>0.\)
\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2+2\sqrt{7}}{3}.\\x_2=\dfrac{2-2\sqrt{7}}{3}.\end{matrix}\right.\)
a)
\(x^2-2\left(m+1\right)x+4m-m^2=0\)
Ta có : (a = 1 ; b = 2(m+1) ; b' = m + 1 ; c = 4m-m2 )
\(\Delta'=b'^2-ac\)
= \(\left(m+1\right)^2-1.\left(4m-m^2\right)\)
= m2 + 2m + 1 -4m +m2
= 2m2 -2m + 1
= 2 ( m-1)2 > 0 (phuong trinh luon co 2 nghien pb \(\forall m\)
a) có \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4m+m^2\)
\(=m^2+2m+1-4m+m^2\)
\(=2m^2-2m+1\)
\(=2\left(m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1\right)\)
\(=2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>0\forall m\)
\(\Rightarrow pt\) trên luôn có 2 nghiệm pb \(\forall m\)
b) ta có vi - ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=4m-m^2\end{cases}}\)
theo bài ra \(A=\left|x_1-x_2\right|\)
\(\Leftrightarrow A^2=\left(x_1-x_2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow A^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow A^2=4m^2+8m+4+4m^2-16m\)
\(\Leftrightarrow A^2=8m^2-8m+4\)
\(\Leftrightarrow A^2=8\left(m^2-m+\frac{1}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow A^2=8\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+2\ge2\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
vậy MIN A^2 = \(2\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
a: Khi m = -4 thì:
\(x^2-5x+\left(-4\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x-6=0\)
\(\Delta=\left(-5\right)^2-5\cdot1\cdot\left(-6\right)=49\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7>0\)
Pt có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{5+7}{2}=6;x_2=\dfrac{5-7}{2}=-1\)
a) Vì \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m-3\right)=\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)với mọi m nên pt có 2 nghiệm phân biệt
b) Theo định lí Viet , ta có :
\(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4m^2-10m+10=4\left(m-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(m=\frac{5}{4}\). Vậy min P là \(\frac{15}{4}\)