Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Vì $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên theo định lý Euler ta có:
\(\left\{\begin{matrix} m^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\\ n^{\varphi (m)}\equiv 0 \pmod n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}\equiv 1\pmod n\) (1)
Tương tự:
\(\left\{\begin{matrix} m^{\varphi (n)}\equiv 0\pmod m\\ n^{ \varphi (m)}\equiv 1\pmod m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}\equiv 1\pmod m\) (2)
Từ (1) và (2) ta có thể đặt \(m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}=mk+1=nt+1\)
(trong đó \(k,t\in\mathbb{N}\) )
\(\Rightarrow mk=nt\Rightarrow mk\vdots n\). Mà (m,n) nguyên tố cùng nhau nên \(k\vdots n\Rightarrow k=nu (u\in\mathbb{N})\)
Khi đó:
\(m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}=mnu+1\Leftrightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)} \equiv 1\pmod {mn}\)
Ta có đpcm.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\ge2x^3+2y^3+2z^3=2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
vecto AN+vecto BP+vecto CM
=vecto AB+vecto BN+vecto BC+vecto CP+vecto CA+vecto AM
=vecto AB+1/3vecto BC+vecto BC+1/3vecto CA+vecto CA+1/3vecto AB
=4/3 vecto AB+4/3vecto BC+4/3vecto CA
=vecto 0
Ta có :\(m^3+n^3+p^3-4=m^3+n^3+p^3-\left(m+n+p\right)+2010=\left(m^3-m\right)+\left(n^3-n\right)+\left(p^3-p\right)+2010\)Dễ thấy \(2010⋮6\)
Ta cần chứng minh \(\left(m^3-m\right)+\left(n^3-n\right)+\left(p^3-p\right)\) chia hết ho 6
Ta có :\(m^3-m=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\)
Vì (m-1)m(m+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên :
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)m\left(m+1\right)⋮2\\\left(m-1\right)m\left(m+1\right)⋮3\end{matrix}\right.\)
mà (2;3)=1 nên (m-1)m(m+1) chia hết cho 6 hay \(\left(m^3-m\right)⋮6\)
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\left(n^3-n\right)⋮6;\left(p^3-p\right)⋮6\)
Do đó :\(\left(m^3-m\right)+\left(n^3-n\right)+\left(p^3-p\right)+2010⋮6\)
Vậy \(m^3+n^3+p^3-4\) chia hết cho 6 với m,n,p là các số nguyên thoả mãn \(m+n+p=2014\)