Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+6x+6m-m^2=0\left(1\right)\)
Áp dụng định lý Viet ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-6\\P=x_1.x_2=6m-m^2\end{matrix}\right.\)
\(\Delta'=9-6m+m^2=\left(m-3\right)^2\ge0,\forall m\in R\)
\(\Rightarrow\sqrt[]{\Delta'}=\left|m-3\right|\)
Phương trình \(\left(1\right)\) có 2 nhiệm phân biệt
\(\left[{}\begin{matrix}x_1=-3+\left|m-3\right|\\x_2=-3-\left|m-3\right|\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1-x_2=2\left|m-3\right|\)
Theo đề bài ta có :
\(x^3_1-x^3_2+2x^2_1+12x_1+72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x^2_1+x^2_2+x_1.x_2\right)+2x^2_1+12x_1+72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1.x_2\right]+2x^2_1+12x_1+72=0\)
\(\Leftrightarrow2\left|m-3\right|\left(36-6m+m^2\right)+2\left[-3+\left|m-3\right|\right]^2+12\left[-3+\left|m-3\right|\right]+72=0\)
\(\Leftrightarrow2\left|m-3\right|\left(9-6m+m^2+27\right)+2\left[-3+\left|m-3\right|\right]^2+12\left[-3+\left|m-3\right|\right]+72=0\)
\(\Leftrightarrow2\left|m-3\right|\left[\left(m-3\right)^2+27\right]+2\left[-3+\left|m-3\right|\right]^2+12\left[-3+\left|m-3\right|\right]+72=0\left(a\right)\)
- Với \(m>3\)
\(\left(a\right)\Leftrightarrow2\left(m-3\right)\left[\left(m-3\right)^2+27\right]+2\left[-3+m-3\right]^2+12\left[-3+m-3\right]+72=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(m-3\right)\left[\left(m-3\right)^2+27\right]+2\left(m-6\right)^2+12\left(m-6\right)+72=0\)
Đặt \(t=m-3>0\)
\(pt\Leftrightarrow2t\left(t^2+27\right)+2\left(t-3\right)^2+12\left(t-3\right)+72=0\)
\(\Leftrightarrow2t^3+54t+2t^2-12t+18+12t-36+72=0\)
\(\Leftrightarrow2t^3+2t^2+54t+54=0\)
\(\Leftrightarrow2t^2\left(t+1\right)+54\left(t+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(2t^2+54\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t+1=0\left(2t^2+54>0,\forall t\in R\right)\)
\(\Leftrightarrow t=-1\left(ktm\right)\)
- Với \(m< 3\)
\(\left(a\right)\Leftrightarrow2\left(3-m\right)\left[\left(3-m\right)^2+27\right]+2\left[-3-m+3\right]^2+12\left[-3-m+3\right]+72=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(3-m\right)\left[\left(3-m\right)^2+27\right]+2m^2-12m+72=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(3-m\right)\left[\left(3-m\right)^2+27\right]-2m\left(6-m\right)+72=0\)
Đặt \(t=3-m< 0\)
\(pt\Leftrightarrow2t\left(t^2+27\right)-2\left(3-t\right)\left(3+t\right)+72=0\)
\(\Leftrightarrow2t^3+54t-18+2t^2+72=0\)
\(\Leftrightarrow2t^3+2t^2+54t+54=0\)
\(\Leftrightarrow2t^2\left(t+1\right)+54\left(t+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(2t^2+54\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t+1=0\left(2t^2+54>0,\forall t\in R\right)\)
\(\Leftrightarrow t=-1\)
\(\Leftrightarrow3-m=-1\)
\(\Leftrightarrow m=4\left(ktm\right)\)
- Với \(m=3\)
\(\left(a\right)\Leftrightarrow0+2.9-36+72=54=0\left(vô.lý\right)\)
\(\Rightarrow m=3\left(loại\right)\)
Vậy không có m nào để thỏa yêu cầu đề bài.
Theo hệ thức viet thì : \(\hept{\begin{cases}x_1x_2=2m+1\\x_1+x_2=6\end{cases}}\)
Khi đó : \(\hept{\begin{cases}2x_1-x_2=15\left(1\right)\\x_1^2=x_2-4\end{cases}}\)\(< =>\hept{\begin{cases}2x_1-15=x_2\\x_1^2=2x_1-19\left(2\right)\end{cases}}\)
Đặt \(x_1;x_2\)lần lượt là \(a,b\)(mình đặt cho dễ ghi thôi nhé)
\(\left(2\right)< =>a^2-2a-19=0\)
\(< =>\orbr{\begin{cases}a=1+2\sqrt{5}\left(+\right)\\a=1-2\sqrt{5}\left(++\right)\end{cases}}\)
Với \(\left(+\right)\)thế vào \(\left(1\right)\)ta được \(2a-b=15\)
\(< =>2+4\sqrt{5}-15=-13+4\sqrt{5}=b\)
Từ cặp số trên thế vào phương trình sẽ tìm được m theo dạng bpt (+++)
Với \(\left(++\right)\)thế vào \(\left(1\right)\)ta được : \(2a-b=15\)
\(< =>2-4\sqrt{5}-15=-13-4\sqrt{5}=b\)
Từ cặp số trên thế vào phương trình sẽ tìm được m theo dạng bpt (++++)
Từ 3 và 4 suy ra kết luận
P/s : Mình không chắc dạng này lắm , sai mong bạn thông cảm
Ta có : \(x^2-5x+m=0\left(a=1;b=-5;c=m\right)\)
Theo hệ thức Vi et ta có : \(x_1+x_2=5;x_1x_2=m\)
Theo bài ra ta có : \(x_1^2+x_2^2+7=2\sqrt{x_2^2-3}+6x_1\)
Thay \(x_1;x_2\)lần lượt là \(x;y\)thì ta có phương trình mới :
\(x^2+y^2+7=2\sqrt{y^2-3}+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2\sqrt{y^2-3}+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2\sqrt{y^2-\sqrt{3}^2}+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2\sqrt{y-\sqrt{3}}^2+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2y-2\sqrt{3}+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2\left(y-\sqrt{3}+3x\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+7}{2}=y-\sqrt{3}+3x\)
Mời idol về giải chứ chưa đi sâu vào mấy cái căn này lắm, phá mãi mới ra mà chả biết nhóm vào đâu.
a) \(x_1^2+x_2^2=23\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=23\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=23\)
\(\Leftrightarrow5^2-2\left(m+4\right)=23\)
<=> m=-3
b) \(x_1^3+x_2^3=35\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=35\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=35\)
\(\Leftrightarrow5\left[5^2-3\left(m+4\right)\right]=35\)
<=> m=2
c) \(\left|x_2-x_1\right|=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|x_2-x_1\right|\right)^2=3^2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_1^2=3^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)
<=> m=0
ĐK để pt có hai nghiệm phân biệt là: \(\Delta>0\Leftrightarrow25-4\left(m+4\right)>0\Leftrightarrow m< \frac{9}{4}\) ( @@)
Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình
Theo định lí Viet ta có: \(x_1+x_2=5;x_1.x_2=m+4\)
a) \(x_1^2+x_2^2=23\)
<=> \(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=23+2x_1x_2\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2=23+2x_1x_2\)
=> \(25=23+2\left(m+4\right)\)
<=>m = -3 ( thỏa mãn @@)
b) \(x_1^3+x_2^3=35\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1+x_2\right)x_1x_2=35\)
=> \(5^3-3.5.\left(m+4\right)=35\)
<=> m = 2 ( thỏa mãn @@)
c) \(\left|x_2-x_1\right|=3\)
<=> \(\left(x_1-x_2\right)^2=9\)
<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)
=> \(5^2-4\left(m+4\right)=9\)
<=> m = 0 ( thỏa mãn @@)
Ta có : \(x^2-6x+2m+1=0\left(a=1;b=-6;c=2m+1\right)\)
\(\Delta=\left(-6\right)^2-4\left(2m+1\right)=36-8m-4=32-8m\)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Delta\ge0;32-8m\ge0\Leftrightarrow m\le4\)
Với \(m\le4\)Theo hệ thức Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{6}{1}=6\\P=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2m+1}{1}=2m+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6^2-2\left(2m-1\right)=36-4m+2=38-4m\)
Vì \(x_1^3+x_2^3< 72\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)< 72\)
Thay vào làm nốt nhé ((: ngại ghê
Phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta>0\)
\(< =>36-4\left(2m+1\right)>0\)
\(< =>32-8m>0\)\(< =>m< 4\)
... làm tiếp phần của bạn kia
\(x_1^2-x_1x_2+x_2^2< \frac{72}{6}=12\)
\(< =>\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2< 12\)
\(< =>36-6m-3< 12\)
\(< =>33-12=21< 6m\)
\(< =>\frac{21}{6}< m\)
Suy ra \(\frac{21}{6}< m< 4\)
Vậy \(\frac{21}{6}< m< 4\)thì thỏa mãn đẳng thức trên
\(8x^2-8x+m^2+1=0\) ( 1 )
\(\Delta'=16-8\left(m^2+1\right)=16-8m^2-8=8-8m^2\)
PT ( 1 ) có hai nghiệm x1,x2 \(\Leftrightarrow\Delta'=8-8m^2\ge0\)\(\Leftrightarrow m^2\le1\Leftrightarrow-1\le m\le1\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có :
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_1x_2=\frac{m^2+1}{8}\end{cases}}\)
Do đó : \(x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3\)
\(\Leftrightarrow x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)
\(\Leftrightarrow x_1^3\left(x_1-1\right)-x_2^3\left(x_2-1\right)=0\Leftrightarrow-x_1^3x_2+x_2^3x_1=0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1^2-x_2^2\right)=0\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=0\)
Dễ thấy \(x_1x_2=\frac{m^2+1}{8}>0;x_1+x_2=1>0\)nên \(x_1-x_2=0\Leftrightarrow x_1=x_2\)
Từ đó tìm được \(m=\pm1\)
\(\Delta'=9-6m+m^2=\left(m-3\right)^2\ge0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt luôn có nghiệm với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-6\\x_1x_2=6m-m^2\end{matrix}\right.\)
Do \(x_1\) là nghiệm nên: \(x_1^2+6x_1+6m-m^2=0\Leftrightarrow2x_1^2+12x_1=2m^2-12\)
\(x_1^3-x_2^3+2x_1^2+12x_1+72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+2m^2-12m+72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(m^2-6m+36\right)+2m^2-12m+72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2+2\right)\left(m^2-6m+36\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x_1-x_2+2=0\) (do \(m^2-6m+36=\left(m-3\right)^2+27>0;\forall m\))
Kết hợp với \(x_1+x_2=-6\) ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=-2\\x_1+x_2=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-4\\x_2=-2\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=6m-m^2\)
\(\Rightarrow8=6m-m^2\Rightarrow m^2-6m+8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=4\end{matrix}\right.\)