Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\).
Theo định lí Viete:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)
\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)
\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\).
Để pt có ng0 thì: \(\Delta'=\left(2m+5\right)^2-2m-1>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+2m+24>0\left(LĐ\right)\)
Theo Viet:\(x_1+x_2=4m+10;x_1x_2=2m+1\)
\(A^2=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|-2\sqrt{x_1x_2}\)
\(A^2=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|-2\sqrt{2m+1}\)
\(A^2=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2}-2\sqrt{2m+1}\)
\(A^2=\sqrt{\left(4m+10\right)^2}-2\sqrt{2m+1}\)
Đến đây thì dễ rồi.
Theo Vi et : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m+2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2+3\end{cases}}\)
\(A=m^2+3+2m+2=m^2+2m+5=\left(m+1\right)^2+4\ge4\)
Dấu ''='' xảy ra khi m = -1
Vậy GTNN A là 4 khi m =-1
Lời giải:
Ta thấy:
\(\Delta=(2m+5)^2-4(2m+1)=4m^2+12m+21=(2m+3)^2+12>0, \forall m\in\mathbb{R}\)
Do đó PT luôn có 2 nghiệm $x_1,x_2$ với mọi $m$
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m+5\\ x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)
Để $\sqrt{x_1},\sqrt{x_2}$ có nghĩa thì $x_1,x_2\geq 0$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m+5\geq 0\\ x_1x_2=2m+1\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\geq \frac{-1}{2}\)
\(P=|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=\sqrt{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2}=\sqrt{x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}}\)
\(=\sqrt{2m+5-2\sqrt{2m+1}}\)
Vì \(2m+5-2\sqrt{2m+1}=(2m+1)+1-2\sqrt{2m+1}+3=(\sqrt{2m+1}-1)^2+3\geq 3\) với mọi $m\geq \frac{-1}{2}$
Do đó: \(P=\sqrt{2m+5-2\sqrt{2m+1}}\geq \sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{2m+1}-1=0\Leftrightarrow m=0\) (t.m)
Vậy để $P$ đạt min ($\sqrt{3}$) thì $m=0$