Question

[Hà Nguyễn Thu]

cho (O;R) đường kính AB và 1 đường thẳng d vuông góc với AB tại E thuộc bán kính OA. đường thẳng d cắ đường tròn tại C, D . gọi M là điểm chuyển động trên (O) với M khác A,B,C,D. các đường thẳng MA, MB cắt d tại H, K

a. cmr EH.EK=\(\frac{CD^2}{4}\)

b. tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK

Answer 1

[Hương Yangg]

Đoạn cuối mình nhầm nhé. Tâm P thuộc đường trung trực của AI cố định. Bạn tự CM phần đảo nhé.

Answer 2

[Hương Yangg]

Bạn tự vẽ hình nhé.
a, Có \(\widehat{AMB}=90^0\) ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{BKE}\) ( Cùng phụ với góc B)
\(\Rightarrow\Delta AEH~\Delta KEB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{EH}{EB}=\frac{AE}{KE}\)
\(\Rightarrow EH.EK=EA.EB=EC^2=\frac{CD^2}{4}\) ( Hệ thức lượng trong tam giác ACB vuông tại C)
b, Trên tia đối của tia EB lấy I sao cho EI = EB.
Tam giác KIB có KE vừa là đường cao, vừa là trung tuyến.
Suy ra tam giác KIB cân tại K.
\(\Rightarrow\widehat{EKI}=\widehat{EKB}\)
Mà \(\widehat{EKB}=\widehat{MAB}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{EKB}=\widehat{KIB}\)
Suy ra tứ giác AHKI nội tiếp.
=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHKI và thuộc đường trung trực của IE.
Do AB, d cố định nên E, I cố định
=> Đường trung trực của IE cố định
=> đpcm