Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
em học lớp 7 nên không biết anh cho em đúng đi rồi em nhờ anh em lớp 12 giải cho
Bài 1:
Chiều thuận:\(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3; y\vdots 3\)
Giả sử cả \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\). Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 thì dư $0$ hoặc $1$.
Do đó nếu \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 3; y^2\equiv 1\pmod 3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv 2\pmod 3\) (trái với giả thiết )
Suy ra ít nhất một trong 2 số $x,y$ chia hết cho $3$
Giả sử $x\vdots 3$ \(\Rightarrow x^2\vdots 3\). Mà \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow y^2\vdots 3\Rightarrow y\vdots 3\)
Vậy \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x,y\vdots 3\)
Chiều đảo:
Ta thấy với \(x\vdots 3, y\vdots 3\Rightarrow x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (đpcm)
Vậy ta có đpcm.
Bài 2: > chứ không \(\geq \) nhé, vì khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) thì cả 3 BĐT đều đúng.
Phản chứng, giả sử cả 3 BĐT đều đúng
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a(1-b)> \frac{1}{4}\\ b(1-c)> \frac{1}{4}\\ c(1-a)>\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a(1-a)b(1-b)c(1-c)> \frac{1}{4^3}(*)\)
Theo BĐT AM-GM thì:
\(a(1-a)\leq \left(\frac{a+1-a}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(b(1-b)\leq \left(\frac{b+1-b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(c(1-c)\leq \left(\frac{c+1-c}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{4^3}\) (mâu thuẫn với $(*)$)
Do đó điều giả sử là sai, tức là trong 3 BĐT trên có ít nhất một BĐT đúng.
Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\) (1)
với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)
=> (1) đúng khi n = 1
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)
Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
=> Từ giả thiết quy nạp ta có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*
Đặt \(A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}\)
\(\Rightarrow3A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{n}{3^{n-1}}\)
\(\Rightarrow3A-A=\left(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{n}{3^{n-1}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}\right)\)
\(\Rightarrow2A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n}\)
Đặt \(S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}\)
\(\Rightarrow3S=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{n-2}}\)
\(\Rightarrow3S-S=\left(3+1+...+\frac{1}{3^{n-2}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{n-1}}\right)\)
\(\Rightarrow2S=3-\frac{1}{3^{n-1}}< 3\)
\(\Rightarrow2S< 3\)
\(\Rightarrow S< \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow2A< \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n^2+n+2n+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n+1\right).\left(n+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{\left(n+2\right)-\left(n+1\right)}{\left(n+2\right).\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{x+2}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Với m nguyên dương ta có:
\(\frac{m+0,5}{2.3^{m-1}}-\frac{m+1,5}{2.3^m}=\frac{m}{3^m}\)
Thay m lần lượt bởi 1;2;....;m ta có:
\(\frac{1}{3}=\frac{1,5}{2}=\frac{2,5}{2.3}\)
\(\frac{2}{3^2}=\frac{2,5}{2.3}-\frac{3,5}{2.3^2}\)
......................................
\(\frac{n}{3^n}=\frac{n+0,5}{2.3^{n-1}}-\frac{n+1,5}{2.3^n}\)
Do đó: \(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{n}{3^n}=\frac{1,5}{2}-\frac{n+1,5}{2.3^n}< \frac{1,5}{2}=\frac{3}{4}\)