Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{zx+zy+z^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{zx+zy+z^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(zx+zx+z^2+xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
Dù trường hợp nào thay vào thì ta luôn có \(\left(x^3+y^3\right)\left(y^5+z^5\right)\left(x^7+z^7\right)=0\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{y+2z}{27}+\frac{y+2z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(y+2z)^2}.\frac{y+2z}{27}.\frac{y+2z}{27}}=\frac{x}{3}$
$\frac{y^3}{(z+2x)^2}+\frac{z+2x}{27}+\frac{z+2x}{27}\geq \frac{y}{3}$
$\frac{z^3}{(x+2y)^2}+\frac{x+2y}{27}+\frac{x+2y}{27}\geq \frac{z}{3}$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$\sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{x+y+z}{9}\geq \frac{x+y+z}{3}$
$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}\geq \frac{2}{9}(x+y+z)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Hướng dẫn :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
Thay vào:\(x^2+2yz=x^2+yz+yz=x^2+yz-xy-zx=x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)
Tương tự thay vào mà quy đồng
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\left(x+y+z\ne0\right)\)
\(2\times\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\times2\)
\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz=0\)
\(x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2=0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2=0\)
\(\left[\begin{array}{nghiempt}x-y=0\\x-z=0\\y-z=0\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\x=z\\y=z\end{array}\right.\)
x = y = z
\(P=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{x}{z}\right)\)
\(=\left(1+\frac{x}{x}\right)\left(1+\frac{y}{y}\right)\left(1+\frac{z}{z}\right)\)
\(=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\)
\(=2^3\)
\(=8\)
AI K MÌNH MÌNH K LẠI 5 TK.
bạn nói j mình ko hỉu j hết