Question

[Vũ Ngọc Khánh]

Cho M thuộc (O)đường kính AB (MA<MB).H thuộc OB,qua H kẻ đường thẳng vuông góc ab cắt Am tại D.Dh cắt BM tại C.C/m Gọi giao điểm AC với o là e.C/m b,e,d thẳng hàng,c/m t/g mohe nội tiếp

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$\widehat{AMB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow MB\perp AD$

Tam giác $ABD$ có $MB\perp AD, DH\perp AB$ và $MB, DH$ cắt nhau tại $C$ nên $C$ là trực tâm tam giác $ABD$

$\Rightarrow AC\perp BD$

Lấy $E'$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ thì $\widehat{AE'B}=90^0$

Như vậy: $\widehat{AMB}=\widehat{AE'B}$ và cùng nhìn cạnh $AB$ nên $AME'B$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow E'\in (O)$

Như vậy, $E'\in (O)$ và $E'\in AC$ nên $E'\equiv E$

$\Rightarrow B,E,D$ thẳng hàng.

Ta có: \(\widehat{MOH}=\widehat{MOB}=180^0-2\widehat{MBO}\)

Mặt khác: dễ thấy tứ giác $AMEB, CEBH$ nội tiếp nên: $\widehat{MEH}=\widehat{MEA}+\widehat{CEH}$

$=\widehat{MBA}+\widehat{CBH}=2\widehat{MBO}$

Từ đây suy ra: $\widehat{MOH}+\widehat{MEH}=180^0$

$\Rightarrow MOHE$ là tứ giác nội tiếp.

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: