Question

[Lạnh Lùng Trái Tim]

Cho M nằm trong tam giác ABC .C/m ( AB+AC+BC)/2 <MA+MB+MC < AB+AC+BC

Answer 1

[Hoàng Phúc]

hình tự vẽ

Gọi I là giao điểm của BM và AC

Xét 2 tam giác BIC và AIM có:

BI < IC + BC  (1) (bất đẳng thức tam giác)

MA < MI + IA (2)  (bất đẵng thức...)

Cộng (1) và (2);vế theo vế

=>BI + MA < AI + IC + BC + MI (3)

Vì điểm M nằm giữa B và I

=>BI = BM + MI  (4)

điểm I nằm giữa A và C

=>AI + IC = AC (5)

Tử (3);(4);(5)

=>BM + MA + MI < AC + BC + MI

=>MB + MA < AC + BC  

Chứng minh tương tự với MA + MC < AB + BC

                                 và MC + MB < AB + AC

Cộng từng vế các BĐT trên

=>\(2\left(MA+MB+MC\right)<2\left(AB+AC+BC\right)\)

hay \(MA+MB+MC\)\(<\)\(AB+AC+BC\left(6\right)\)

Xét tam giác MAB,tam giác MBC,tam giác MCA  lần lượt có:

\(MA+MB>AB\) (BĐT tam giác)

\(MB+MC>BC\) (BĐT tam giác)

\(MC+MA>AC\) (BĐT tam giác)

Cộng  từng vế các BĐT trên

=>\(2\left(MA+MB+MC\right)>AB+BC+AC\)

hay \(MA+MB+MC>\frac{AB+AC+BC}{2}\left(7\right)\)

Từ (6);(7)

=>\(\frac{AB+AC+BC}{2}\) \(<\) \(MA+MB+MC\) \(<\) \(AB+AC+BC\left(đpcm\right)\)