Question

[Minh Nguyễn Cao]

Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM,BM,CM cắt BC,CA,AB lần lượt tại A₁,B₁,C₁ 

Tìm vị trí của M để  \(P=\frac{MA}{MA_1}.\frac{MB}{MB_1}.\frac{MC}{MC_1}\) nhỏ nhất

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

Từ A dựng đường cao AH, M dựng đường cao MD ( H, D thuộc BC ) 

\(\left(S_{MAB};S_{MBC};S_{MAC}\right)\rightarrow\left(S_1;S_2;S_3\right)\)

\(\Delta HAA_1\) có \(AH//MD\left(\perp BC\right)\) áp dụng Ta-let \(\Rightarrow\)\(\frac{AA_1}{MA_1}=\frac{AH}{MD}=\frac{\frac{1}{2}AH.BC}{\frac{1}{2}MD.BC}=\frac{S_{ABC}}{S_2}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AA_1}{MA_1}-1=\frac{MA}{MA_1}=\frac{S_{ABC}}{S_2}-1=\frac{S_1+S_3}{S_2}\)

Tương tự( dựng các đường cao hạ từ B, M và C, M ) ta cũng có: \(\frac{MB}{MB_1}=\frac{S_1+S_2}{S_3};\frac{MC}{MC_3}=\frac{S_2+S_3}{S_1}\)

Do đó: \(P=\frac{MA}{MA_1}.\frac{MB}{MB_1}.\frac{MC}{MC_1}=\frac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1S_2S_3}\)

\(\ge\frac{2\sqrt{S_1S_2}.2\sqrt{S_2S_3}.2\sqrt{S_3S_1}}{S_1S_2S_3}=\frac{8\sqrt{\left(S_1S_2S_3\right)^2}}{S_1S_2S_3}=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) tam giác ABC là tam giác đều và có 3 đường trung trực đồng quy tại M