Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}\)
với \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=0\)
và \(\left|\overrightarrow{a}\right|=a,\overrightarrow{\left|b\right|}=a\sqrt{2},\left|\overrightarrow{c}\right|=a\sqrt{3}\)
khi đó
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c,}\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
Giả sử đường vuông góc chung cắt \(\overrightarrow{AB}\) tại M và cắt \(\overrightarrow{BC'}\) tại N và \(\overrightarrow{AM}=x.\overrightarrow{AB'}=x.\overrightarrow{a}+x.\overrightarrow{c},\overrightarrow{BN}=y.\overrightarrow{BC'}=-y.\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}+y.\overrightarrow{c}\)
Suy ra \(\overrightarrow{AN}=\left(1-y\right)\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}+y.\overrightarrow{c}\)
Và do đó
\(\overrightarrow{MN}=\left(1-x-y\right)\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}+\left(y-x\right)\overrightarrow{c}\)
Ta có :
\(MN\perp AB',BC'\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=0\\\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{BC'}=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}-4x+2y+1=0\\-2x+6y-1=0\end{cases}\)
Giải hệ ta thu được \(x=\frac{2}{5},y=\frac{3}{10}\)
Từ đó :
\(MN^2=\left[\left(1-x-y\right)^2+2y^2+3\left(y-x\right)^2\right].a^2=\frac{39^a}{100}\)
Suy ra \(d\left(AB';BC'\right)=\frac{a\sqrt{39}}{10}\)
Bài 2:
Ta có: \(y=\frac{x-2}{x-1}\Rightarrow y'=\frac{1}{(x-1)^2}\)
Do đó pt tiếp tuyến của đồ thị (C) tại \(M(a, \frac{a-2}{a-1})\) là:
\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{1}{(a-1)^2}(x-a)+\frac{a-2}{a-1}\) (d)
Đường thẳng trên có vecto pháp tuyến \((\frac{1}{(a-1)^2}, -1)\) nên vecto chỉ phương là: \((1, \frac{1}{(a-1)^2})\)
Vecto chỉ phương của đường thẳng \(\overrightarrow{IM}\) là \((a-1,\frac{a-2}{a-1}-1)\)
Vì hai đường thẳng trên vuông góc với nhau nên:
\(\overrightarrow{d}.\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow (1, \frac{1}{(a-1)^2})(a-1, \frac{a-2}{a-1}-1)=0\)
\(\Leftrightarrow a-1+\frac{1}{(a-1)^2}\left(\frac{a-2}{a-1}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a-1-\frac{1}{(a-1)^3}=0\)
\(\Leftrightarrow (a-1)^4=1\Leftrightarrow a=2, a=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} M=(2, 0)\\ M=(0,2)\end{matrix}\right.\)
Bài 1:
Gọi tọa độ điểm \(M(a,a^3-3a+1)\)
Có: \(y=x^3-3x+1\Rightarrow y'=3x^2-3\). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M$ là:
\(y=y'(a)(x-a)+y(a)\)
\(\Leftrightarrow y=(3a^2-3)(x-a)+a^3-3a+1\)
Để qua M kẻ được đúng một tiếp tuyến tới $(C)$ thì phương trình hoành độ giao điểm:
\((3a^2-3)(x-a)+a^3-3a+1=x^3-3x+1(*)\) chỉ có đúng duy nhất một nghiệm.
Ta có:
\((*)\Leftrightarrow (x^3-a^3)-(3x-3a)-(x-a)(3a^2-3)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-a)(x^2+xa+a^2-3a^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-a)(x^2+xa-2a^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-a)^2(x+2a)=0\)
Để pt có nghiệm duy nhất thì \(a=-2a\Leftrightarrow a=0\)
\(\Rightarrow M(0,1)\)