Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f\left(x\right)=x^3-3x^2+\left(2m-2\right)x+m-3\\ f'\left(x\right)=3x^2-6x+2m-2\\ \Delta'_{f'}=-6m+15\)
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_{f'}=-6m+15>0\\y_{CĐ}y_{CT}< 0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \frac{5}{2}\\\left[\left(\frac{4}{3}m-\frac{10}{3}\right)x_{CĐ}+\frac{5}{3}m-\frac{11}{3}\right]\left[\left(\frac{4}{3}m-\frac{10}{3}\right)x_{CT}+\frac{5}{3}m-\frac{11}{3}\right]\end{matrix}\right.\\ \left\{{}\begin{matrix}m< \frac{5}{2}\\32m^3+3m^2-534m+823< 0\end{matrix}\right.\left(k\right)}\)
Theo định lí Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=3>0\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=2m-2\\x_1x_2x_3=3-m>0\end{matrix}\right.\)
Từ \(x_1< -1< x_2< x_3\Rightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\left(x_2+1\right)< 0\)
Và từ \(\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\left(x_3+1\right)< 0\), do Viet ở trên nên \(x_1< -1< x_2< x_3\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài \(\Leftrightarrow\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\left(x_3+1\right)< 0\\ \Leftrightarrow x_1x_2x_3+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1+x_1+x_2+x_3+1< 0\\ \Leftrightarrow3-m+2m-2+3+1< 0\Leftrightarrow m< -5\)
Với m<-5 thì thỏa mãn điều kiện (k) ở trên. Vậy -10<m<-5
6.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos4x=\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos2x+1\)
\(\Leftrightarrow cos4x=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow2cos^22x-1=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow cos^22x-2cos2x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=-1\\cos2x=3>1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
7.
Thay lần lượt 4 đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn
8.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right\}\)
9.
Đặt \(sinx+cosx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le t\le1\\sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow mt+\frac{t^2-1}{2}+1=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2mt+1=0\)
Pt đã cho có đúng 1 nghiệm thuộc \(\left[-1;1\right]\) khi và chỉ khi: \(\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-1\end{matrix}\right.\)
10.
\(\frac{\sqrt{3}}{2}cos5x-\frac{1}{2}sin5x=cos3x\)
\(\Leftrightarrow cos\left(5x-\frac{\pi}{6}\right)=cos3x\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x-\frac{\pi}{6}=3x+k2\pi\\5x-\frac{\pi}{6}=-3x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Với $m^2+(m+1)^2>0$ ta thấy:
PT \(\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\cos x=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}(*)\)
Vì \((\frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}})^2+(\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}})^2=1\) nên tồn tại $a$ sao cho:
\(\sin a=\frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}; \cos a=\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\). Khi đó:
\((*)\Leftrightarrow \sin a\sin x+\cos a\cos x=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\)
\(\Leftrightarrow \cos (x-a)=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\)
Để PT có nghiệm thì \(\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\in [-1;1]\Leftrightarrow m^2+(m+1)^2\geq 1\)
Đặt \(\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}=\cos b(1)\Rightarrow \cos (x-a)=\cos b\)
\(\Leftrightarrow x=a\pm b+2k\pi \) ($k_i$ nguyên)
PT có 2 nghiệm có dạng $x_1=a+b+2k_1\pi$ và $x_1=a-b+2k_2\pi$ (nếu $x_1,x_2$ cùng họ nghiệm thì $|x_1-x_2|=|2n\pi|\neq \frac{\pi}{2}$)
\(\Rightarrow |x_1-x_2|=|2b+2(k_1-k_2)\pi|\)
\(\Rightarrow \cos |x_1-x_2|=\cos |2b+2(k_1-k_2)\pi|=\cos 2b=\cos \frac{\pi}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow 2\cos ^2b-1=0\Leftrightarrow \cos ^2b=\frac{1}{2}\). Kết hợp vs $(1)$ suy ra $m^2+(m+1)^2=2$
$\Rightarrow m=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Lời giải:
Với $m^2+(m+1)^2>0$ ta thấy:
PT \(\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\cos x=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}(*)\)
Vì \((\frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}})^2+(\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}})^2=1\) nên tồn tại $a$ sao cho:
\(\sin a=\frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}; \cos a=\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\). Khi đó:
\((*)\Leftrightarrow \sin a\sin x+\cos a\cos x=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\)
\(\Leftrightarrow \cos (x-a)=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\)
Để PT có nghiệm thì \(\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\in [-1;1]\Leftrightarrow m^2+(m+1)^2\geq 1\)
Đặt \(\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}=\cos b(1)\Rightarrow \cos (x-a)=\cos b\)
\(\Leftrightarrow x=a\pm b+2k\pi \) ($k_i$ nguyên)
PT có 2 nghiệm có dạng $x_1=a+b+2k_1\pi$ và $x_1=a-b+2k_2\pi$ (nếu $x_1,x_2$ cùng họ nghiệm thì $|x_1-x_2|=|2n\pi|\neq \frac{\pi}{2}$)
\(\Rightarrow |x_1-x_2|=|2b+2(k_1-k_2)\pi|\)
\(\Rightarrow \cos |x_1-x_2|=\cos |2b+2(k_1-k_2)\pi|=\cos 2b=\cos \frac{\pi}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow 2\cos ^2b-1=0\Leftrightarrow \cos ^2b=\frac{1}{2}\). Kết hợp vs $(1)$ suy ra $m^2+(m+1)^2=2$
$\Rightarrow m=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Điều kiện: \(x\ne1\)
a) Xét phương trình: \(\frac{x^2-2mx+3m-2}{x-1}=0\Leftrightarrow x^2-2mx+3m-2=0\)\(\left(x-1\ne0\right)\)
Pt có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>2\\m< 1\end{cases}}\)
Khi đó \(\hept{\begin{cases}x_1=m-\sqrt{m^2-3m+2}\\x_2=m+\sqrt{m^2-3m+2}\end{cases}}\)
+) \(x_1,x_2\ne1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m-\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\\m+\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\end{cases}\Leftrightarrow m\ne1}\)
+) Tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm với trục Ox vuông góc với nhau
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y'\left(x_1\right)=-1\left(1\right)\\y'\left(x_2\right)=1\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(2x_1-2m\right)\left(x_1-1\right)-\left(x_1^2-2mx_1+3m-2\right)}{\left(x_1-1\right)^2}=-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{m-1}{\left(x_1-1\right)^2}=2\Rightarrow m-1=2\left(m-\sqrt{m^2-3m+2}-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[1-2\left(2m-3-2\sqrt{m^2-3m+2}\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{m^2-3m+2}=4m-7\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ge\frac{7}{4}\\m=\frac{17}{8}\end{cases}}\Leftrightarrow m=\frac{17}{8}\)(t/m m>2 v m<1)
Giải (2) cho ra \(m=1\)(loại). Vậy m cần tìm là \(m=\frac{17}{8}.\)
\(y'=\dfrac{\left(2x-m\right)\left(x^2+1\right)-2x\left(x^2-mx+m\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{2x-mx^2-m+2mx^2-2mx}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{mx^2+2\left(1-m\right)x-m}{\left(x^2+1\right)^2}\)
\(y'=0\Leftrightarrow mx^2+2\left(1-m\right)x-m=0\)
Xet \(m=0\) ko thoa man pt
Xet \(m\ne0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\\dfrac{2\left(m-1\right)}{m}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(1-m\right)^2+m^2>0\left(ld\right)\\m=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow m=-2\)