Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bạn tự hình nha
đẳng thức cần chứng minh tương đương
\(1=\dfrac{AB^2}{AM^2}+\dfrac{AB^2}{AN^2}\left(@\right)\)
vậy để c/m bài toán ta cần c/m (@) ta có
\(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{CN}{MN}\left(thales\right)\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AM^2}=\dfrac{CN^2}{MN^2}\left(1\right)\)
và AB=AD nên
\(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AD}{AN}=\dfrac{CM}{MN}\left(thales\right)\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AN^2}=\dfrac{CM^2}{MN^2}\left(2\right)\)
áp dụng định lí pythagore cho tam giác MCN vg tại C
\(CM^2+CN^2=MN^2\)
cộng 2 vế của (1) và (2) ta có
\(\dfrac{AB^2}{AM^2}+\dfrac{AB^2}{AN^2}=\dfrac{CN^2}{MN^2}+\dfrac{CM^2}{MN^2}=\dfrac{CM^2+CN^2}{MN^2}=\dfrac{MN^2}{MN^2}=1\left(\left(@\right)lđ\right)\)
vậy bài toán đc c/m
nếu có j thắc mắc ib mình giải thích cho
Để chứng minh 1) AE = AN, ta sẽ sử dụng định lí hai đường trung bình của tam giác.Theo định lí hai đường trung bình, AM là đường trung bình của tam giác ABC.Vì vậy, ta có AM = 1/2(AB + AC).Đồng thời, ta cũng có AN là đường trung bình của tam giác ADC.Từ đó, ta có AN = 1/2(AD + AC).Do đó, để chứng minh AE = AN, ta cần chứng minh AE = 1/2(AB + AD).Ta biết rằng AE là đường cao của tam giác ABC với cạnh AB.Vì vậy, ta có AE = √(AB^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ABC)Tương tự, ta biết rằng AN là đường cao của tam giác ADC với cạnh AD.Vì vậy, ta cũng có AN = √(AD^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ADC)
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia BC tại E.
Tam giác AEM vuông tại A có \(AB\perp EM\)
Ta có: \(S_{AEM}=\dfrac{1}{2}AE.AM=\dfrac{1}{2}AB.ME\)
\(\Rightarrow AE.AM=AB.ME\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB}=\dfrac{ME}{AE.AM}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}\left(1\right)\)
Áp dụng đl pytago vào tam giác vuông AEM:
\(AE^2+AM^2=ME^2\)
Thay vào (1) ta có:
\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{AE^2+AM^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AM^2}\)
Mà AE = AN nên: \(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)